Traduire un énoncé par une relation de récurrence

Méthode

Etablir une relation de récurrence pour une suite $(u_n)$, c’est écrire une égalité faisant intervenir un terme quelconque et son ou ses suivant(s). Bien souvent dans les exercices de type Bac, il s’agit d’écrire une égalité faisant intervenir $u_{n+1}$ et $u_n$.

Il n’est pas toujours facile de traduire un énoncé pour établir ce type d’égalités. On peut toutefois suivre les étapes suivantes :

• Lire l’énoncé avec beaucoup d’attention et surligner les mots importants.
• Faire un schéma permettant de résumer la situation. Si l’exercice fait mention d’une suite $(u_n)$, il est nécessaire de faire apparaître (au moins) les termes $u_n$ et $u_{n+1}$ sur le schéma. Cliquer sur le schéma pour l’agrandir.

  

• Traduire le schéma par une égalité.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  On considère une suite $(u_n)$ telle qu $u_0=8$ et chaque terme d’indice $n \ge 1$ vaut $77\%$ du précédent.
  Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Ici, les mots « chaque terme d’indice $n \ge 1$ vaut $77\%$ du précédent » sont primordiaux car ils précisent la relation de passage entre un terme et le suivant.
On va noter $u_n$ un terme quelconque et $u_{n+1}$ le terme suivant.
L’énoncé nous permet de réaliser le schéma ci-dessous (cliquer dessus pour l’agrandir) :

L’étape suivante consiste à traduire ce schéma par une égalité mathématique.
Ici, dire que $u_{n+1}$ vaut $77\%$ de$u_n$ signifie que, pour tout entier $n \ge 1$,
$u_{n+1}=0,77\times u_n$$.$

• Niveau facile
  On considère une suite $$$(u_n)$ telle qu $u_0=-3$, $u_1=-1$ et chaque terme d’indice $n \ge 2$ vaut la somme des deux précédents.
  Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Les mots « chaque terme d’indice $n \ge 2$ vaut la somme des deux précédents » permettent de construire le schéma suivant (cliquer dessus pour l’agrandir) dans lequel $u_n$ désigne un terme quelconque, $u_{n+1}$ le terme suivant et $u_{n+2}$ le terme qui suit $u_{n+1}$.

On peut alors écrire que pour tout entier $n \ge 2$,
$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$.$

• Niveau moyen
  On considère une population d’abeilles dont on compte le nombre d’individus le premier jour de chaque mois. On notera $$$u_n$ le nombre d’individus dans la population au bout de $n$ mois depuis le début du comptage. On sait que $u_0=1000$ et que d’un mois à l’autre :
  – les abeilles se reproduisent et leur population croît de $20\%$.
  – après cette augmentation, 150 abeilles meurent.
  Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

L’énoncé permet de construire le schéma suivant (cliquer dessus pour l’agrandir).

On rappelle qu’appliquer une augmentation de 20 % revient à multiplier par 1,2 (voir à ce sujet la méthode Appliquer un pourcentage d’évolution).
Par conséquent, on peut établir la relation suivante :
Pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=1,2\times u_{n}-150$$.$

• Niveau difficile
  Dans un petit village, 1500 personnes vont acheter une baguette de pain tous les matins du mois de janvier 2017. Il y a deux boulangeries dans ce village. Le 1^er janvier 2017, 750 habitants sont allés dans la boulangerie A et 750 dans la boulangerie B. Ensuite, d’un jour à l’autre,
  – 15 % des habitants ayant acheté leur pain dans la boulangerie A vont l’acheter, le jour suivant, dans la boulangerie B. Les 85 % restants retournent dans la boulangerie A.
  – 20 % des habitants ayant acheté leur pain dans la boulangerie B vont l’acheter, le jour suivant, dans la boulangerie A. Les 80 % restants retournent dans la boulangerie B.
  On appelle $$$a_n$ et $b_n$ le nombre d’habitants se rendant dans les boulangeries A et B le $n^{ème}$ jour du mois de janvier 2017.
  Ainsi $a_1=b_1=750$.
  Déterminer les expressions de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

Voir la solution

Voici une traduction de l’énoncé sous forme de schéma (cliquer dessus pour l’agrandir).

On peut alors établir les relations suivantes, vraies pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1}=0,85 \times a_n+0,2 \times b_n$
$a_{n+1}=0,8 \times b_n+0,15 \times a_n$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• la question B.1 de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
• la question B.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
• la question A.2 de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
• la question 1 de Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).
• la question 2a de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.