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Montrer qu’une suite est géométrique

jeudi 29 décembre 2016, par Neige

Méthode

Il existe différentes méthodes pour démontrer qu’une suite est géométrique.
On présente ici la plus classique en Terminale ES.

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$.

Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d’utiliser la rédaction suivante :
$u_{n+1}=... \qquad $(d’après la relation donnée dans l’énoncé)
$\\ \qquad =... \\ \qquad =a\times u_{n}$
Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $a$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=12$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-4$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_n-2$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =(3u_n-4)-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$.

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d’après l’énoncé.
$\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=\frac{u_0+1}{u_0-2}=\frac{8}{5}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Je n’arrive pas a savoir si Un= 3n/n est une suite géométrique ou arithmétique et pourquoi ?

    • Bonjour, j’imagine que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier n non nul par U(n)=3^n/n.

      Pour montrer qu’une suite est arithmétique de raison r, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n)+r où r est une constante.

      Pour montrer qu’une suite est géométrique de raison q, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n) * q où q est une constante (comme dans cette méthode).

      Mais il existe également des suites qui ne sont ni arithmétiques, ni géométriques. C’est le cas de ta suite. En effet, U(1)=3, U(2)=4,5 et U(3)=9.
      Cette suite ne peut pas être arithmétique puisqu’on n’ajoute pas la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (+1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (+4,5).
      Cette suite ne peut pas être géométrique puisqu’on ne multiplie pas par la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (*1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (*2).

      Donc (Un) n’est ni arithmétique, ni géométrique.

  • Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique

    Un= 2x3^n+1 / 5n -> Un = a x q ^n
    = 2x 3^n + 3^1 / 5n

    Et la je bloque help s’il vous plaît

    • Bonjour !
      Je suppose que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :
      U(n+1)=2*3^(n+1)/5^n (avec la puissance n au dénominateur)
      Dans ce cas, tu peux utiliser une autre méthode que celle décrite dans cet article : essaie de calculer U(n+1)/U(n). si tu trouves un nombre indépendant de n, alors (Un) est géométrique et le nombre est la raison de la suite.
      Comme U(n)=2*3^n/5^(n-1), tu devrais obtenir une suite géométrique de raison 3/5 (ou 0,6).
      Dis moi si tu bloques pour simplifier le calcul U(n+1)/U(n)

  • 1-montrer que (vn)n E R est geometrique de raison q=-1/2 et de premier terme v0=2
    2- exprimer bn en fonction de n
    3- en deduire que un= 2+(-1)^n/ 2^-1

    je bloque pour la question 1 mais je pense savoir la suite, si vous pouvez m’aidé

  • Bonjour

    On me demande de prouver qu’une suite est géométrique :

    v(n) = u(n)-1/u(n)+2
    Avec u(n+1) = 2/1+u(n)

    Voila je bloque, c’est a peu de choses près la même chose que l’exemple cité plus haut, mais je bloque sur une étape, à partir du moment où on multiplie par u(n)-1

    Merci de votre aide

    • Bonjour,
      Je suppose que tu veux parler des suites définies par :
      v(n) = [u(n)-1]/[u(n)+2]
      u(n+1) = 2/[1+u(n)]
      (avec les crochets)

      Alors, tu calcule v(n+1) et tu obtiens, après remplacement de u(n+1) par 2/[1+u(n)], des fractions de fractions.
      Voici mes conseils :
      – tu multiplies numérateur et dénominateur par 1+u(n), cela a pour effet de n’obtenir qu’une seule fraction : [1-u(n)]/[4+2u(n)]
      – ensuite, tu factorises le numérateur par -1 et le dénominateur par 2.

      J’imagine que c’est la 1ère étape qui te pose problème.
      Voici le numérateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]-1
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2-(1+u(n)), c’est à dire 1-u(n).
      Voici le dénominateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]+2
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2+2(1+u(n)), c’est à dire 4+2u(n).

      Je te laisse poursuivre, tu devrais obtenir une suite géométrique de raison -1/2.

      N’hésite pas à poser une autre question si ce n’est pas clair !

    • Re-bonjour Léa,
      Je réponds à ta question concernant la multiplication par u(n)-1.
      Tout d’abord, lorsque tu multiplies le numérateur et le dénominateur par ce même nombre, cela ne change rien et donc on a le droit de le faire.
      Ensuite, si tu multiplies une somme, tu dois multiplier chaque terme. c’est la distributivité.
      Ainsi, pour le numérateur,
      (2/[u(n)-1]+1])*(u(n)-1)=2/[u(n)-1]*(u(n)-1)+1*(u(n)-1)
      =2+u(n)-1=1+u(n)
      C’est similaire pour le dénominateur.
      Est ce que c’est plus clair ?

  • après avoir trouvé si la suite est géométrique on me demande :
    montrer que pour tout entier n : Un= 52000*1.04n-50000
    et la je ne sais pas quoi faire

  • Merci beaucoup Neige tu m’a été d’une très grande utilité.😀😀

  • Charline est une grande fan de cinema. Qand elle s’y rend, elle va toujours à celui qui se trouve juste à coter de chez elle le jeudi soir a la seance de 20h30. Elle a remarqué que :
    – si elle y est allé un jeudi il n’y a que 40% de chance qu’elle y aille le suivant.
    – si elle n’y est pas allé un jeudi il y a 80% de chance qu’elle y aille le suivant.
    Ce jeudi elle n’est pas allee au cinema. Quelle est la probabilité qu’elle y aille dans un an ( 52 semaines) ? On considere la suite (qn) par qn=pn-(4/7) ou pn est la probabilité que charline aille au cinema dans n semaines.
    je pense qu’il faut faire un arbre pondere mais je sais pas comment faire et ensuite il faut surement prouver que c’est une suite geometrique de raison r mais je ne sais pas dutout comment m’y prendre.
    Merci

  • Bonjour,

    J’ai un Dm à rendre pour la semaine prochaine et je bloque sur la reconnaissance de la suite. Pour moi, elle est géométrique mais je me demande si elle est aussi arithmétique. La formule de récurrence est Un+1= Un/3.
    Merci d’avance pour notre aide.

    • Bonjour Jojo13,
      Ta suite est clairement géométrique de raison 1/3 puisque, d’après ce que tu écris,
      U(n+1)=1/3 * U(n)
      Si le 1er terme de ta suite est nul, c’est à dire si U(0)=0, alors la suite est nulle et elle est aussi arithmétique de raison 0. Mais ça m’étonnerait que ce soit le cas dans ton DM.
      Si le 1er terme est non nul, impossible qu’elle soit arithmétique (calcule U(0), U(1) et U(2) pour t’en rendre compte ou le justifier).
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour, j’ai un dm à rendre dans quelque jour et je bloque complètement sur cette exercice.
    Soit U la suite définie sur N par U0=1 et Un+1=0,6Un+2
    Soit V la suite définie sur N par Vn=Un-5
    a) Démontrer que la suite V est géométrique.
    B) En déduire une expression de Vn puis de Vn en fonction de n.

    Merci d’avance pour votre aide.

  • Vn=Un-n
    avec Un+1= (2/3)Un+n+1 U0= 2

    1a. Montrer que Vn est une suite géometrique de raison : (racine de 2/9)
    b. Déduire que Un = 2(2/3)puissance n+n

  • bonjour , je suis bloquer à cette exercice ou il faut expliquer pourquoi cette suite est géométrique .

    (Un), définie sur N par Un=3×2n/3n

    merci d’avance

    • Bonjour Calmette,
      Tu peux écrire :
      U(n+1)=3×2^(n+1)/3^(n+1)
      Or, 2^(n+1)=2^n×2
      Tu fais pareil avec 3^(n+1)
      Et finalement, tu devrais voir que U(n+1)=U(n)×.../...
      Je te laisse trouver les ... mais n’hésite pas à poser des questions si tu n’y arrives pas.

      Une autre façon de faire est de remarquer que U(n) peut se mettre sous forme a×b^n, qui est une forme caractéristique des suites géométriques (cette méthode est sans doutes plus rapide).

      Courage !
      Neige

  • Bonjour, je n’arrive pas à prouver que la suite u est géométrique : un = 100x1,02^n-1 j’ai le premier terme u1= 100 et la raison 1,2 mais je n’arrive pas à appliquer la formule pour prouver qu’elle est géométrique avec : un+1/un

    Merci d’avance, en attendant une réponse de votre part.

    • Bonjour Cha,
      Il faut essayer d’exprimer u(n) et u(n+1) :
      u(n)=100×1,02^(n-1)
      u(n+1)=100×1,02^n
      donc u(n+1)/u(n)=100×1,02^n/[100×1,02^(n-1)], ce qui donne, après simplification ....1,02 ! Donc c’est fini, la suite est géométrique de raison 1,02.

      Autre méthode :
      u(n+1)=100×1,02^n
      = 100×1,02^(n-1)×1,02^1
      =u(n)×1,02 et c’est fini.

      J’espère que tu as compris. Si ce n’est pas le cas, n’hésite pas à revenir par ici.
      Neige

  • bonjour j aurai besoin d aide pour l exercice suivant :
    la suite Un est définie pas U0=1/2 et Un+1=3Un/(1+2Un)
    la suite Vn est définie par Vn=Un/(1-Un)
    démontrer que Vn est une suite géométrique et exprimer Vn en fonction de n, ainsi que Un en fonction de Vn
    j ai deja essayer de faire Vn+1=(Un+1)/(1-Un+1)
    mais j arrive a un résultat Vn+1=(3Un+6Un^2)/(-2Un^2+Un+1)
    et je reste bloquer a se niveaux je ne sais pas quoi faire.

    • Bonjour Matteo,
      Ta méthode est bonne mais il y a un problème de calcul.
      On repart de ton idée : V(n+1)=U(n+1)/(1-U(n+1))
      On sépare les calculs :
      U(n+1) = 3Un/(1+2Un)
      1-U(n+1) = 1-3Un/(1+2Un) = (1-Un)/(1+2Un)
      Par conséquent,
      V(n+1) = U(n+1)/(1-U(n+1))
      = 3×Un/(1-Un) car diviser, c’est multiplier par l’inverse et que les dénominateurs (1+2Un) s’éliminent.
      = 3×...

      J’espère que cela te sera utile !
      Neige

  • Bonjour j’ai un dm à rendre et je suis bloquée,

    c’est un vrai ou faux où on doit justifier chaque réponse et la première question c’est : La suite (un) est géométrique de raison (1/n+1/n^2)

    L’énoncé est : On considère la suite(un) définie par u1=1 et pour tout n de N*, un+1=(1/n+1/n^2)*un

    • Bonjour Bianca,
      Voici un rappel pour te mettre sur la voie : une suite est géométrique lorsqu’on peut passer d’un terme au suivant en multipliant par le même nombre constant. Ici, on multiplie par (1/n+1/n^2) mais ce nombre n’est pas toujours le même selon la valeur de n.

      Si ce n’est pas clair, essaie de calculer u2 puis u3, tu verras si on passe de u1 à u2 en multipliant par le même nombre que pour passer de u2 à u3.

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.

      Courage !
      Neige

  • Bonjour j’ai un soucis avec mon exo de DM :
    On considere la suite Un definie par U0=1 et Un+1= 5Un + 3/Un + 3
    on pose Vn=Un-3/Un+1
    montrer que la suite Vn est géométrique en précisant la raison.

    Je n’arrive pas à trouver . Vous pouvez m’aidez s’il vous plait ?

    • Bonjour Oumayma !
      Essaie d’écrire à quoi est égal V(n+1) :
      V(n+1)=(U(n+1)-3)/(U(n+1)+1)
      Tu remplaces ensuite U(n+1) par (5U(n)+3)/(U(n)+3) car c’est l’expression qui est donnée dans l’énoncé.
      En simplifiant les calculs, tu obtiendras quelque chose de ce genre :
      V(n+1)=k×V(n)
      Cela prouvera la nature géométrique de cette suite V.
      Reviens par ici si tu n’y arrives pas.
      Courage !
      Neige

  • Bonjour, j’aurais besoin d’aide pour un exercice :

    Les suites (un) et (vn) sont définies par u0 = 1 et v0=3 et les relations :
    un+1= (1/4)(un+3vn) et vn+1= (1/4)(vn+3un)

    Montrer que la suite un - vn est une suite géométrique

    Ensuite j’ai en déduire l’expression de un et vn en fonction de n mais vous n’avez pas besoin de m’aider pour ce cas, j’y arriverai si vous m’aidez pour la première partie.

    Pouvez-vous m’aider s’il vous plait, je vous remercie d’avance.

    • Bonjour Mario !
      Alors, pour commencer, on va appeler (wn) la suite définie pour tout entier positif n par :
      w(n) = u(n) - v(n)
      Ton objectif est de montrer que w(n+1) = k × w(n), cela prouvera que (wn) est bien géométrique.
      Allons-y !
      w(n+1) = u(n+1) - v(n+1)
      = 1/4 × (u(n)+3v(n)) - 1/4 × (v(n)+3u(n))
      = 1/4 × [(u(n)+3v(n)) - (v(n)+3u(n))]
      Je te laisse finir le calcul (attention au "moins" devant la parenthèse), tu devrais obtenir :
      w(n+1) = -1/2 × w(n)
      Reviens par ici si ce n’est pas clair. Courage !
      Neige

  • Soient (Un) une suite arithmétique de raison r et q > 0, montrer que la suite (Vn) Définie par Vn=Q^Un pour n E N est géométrique et déterminer sa raison, comment faire ?

  • La suite u(n) définie pour tout entier naturel n par Un=n^2 est-Elle une suite géométrique ?

  • Bonjour, je bloque sur un exo en maths :
    U0 = 2
    U1 = 2
    U2 = 3
    Un+1 = 0,5Un + n + 1

    On pose pour tout n, Vn = 0,2Un - 0,4n + 0,4
    1) montrer que Vn est une suite géométrique de raison 0,5
    2) déduire l’expression de Vn en fonction de n et montrer que pour tout n, Un = 4 x (0,5)^n + 2n - 2

    Pouvez-vous m’aider svp ? Je vous remercie d’avance

    • Bonjour Marguerite,
      Voici quelques indications :

      1) Il s’agit de montrer que V(n+1) = k×V(n)
      En remplaçant n par n+1 dans la relation donnée dans l’énoncé, on obtient :
      V(n+1)=0,2U(n+1) - 0,4(n+1) + 0,4
      Or U(n+1)=0,5U(n) + n + 1
      Donc V(n+1)=0,2(0,5U(n) + n + 1) - 0,4(n+1) + 0,4
      Tu obtiendras, après simplification, une expression qui dépend de U(n). Comme on veut une expression qui dépend, non pas de U(n), mais de V(n), on utilise la relation V(n) = 0,2U(n) - 0,4n + 0,4 et on isole U(n) :
      0,2U(n) = V(n)+0,4n-0,4
      U(n) = (V(n)+0,4n-0,4)/0,2
      U(n) = 5V(n) + 2n - 2
      Remplace U(n) par 5V(n) + 2n - 2 dans V(n+1), tu devrais obtenir V(n+1)=0,5×V(n) comme le suggère l’énoncé (je te laisse faire les calculs mais reviens par ici si tu n’y arrives pas).

      2) Pour cette question, regarde cet article : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique , cela devrait t’aider.

      Bon courage !
      Neige

  • Détermine le premiere terme, la raison géométrique et le terme général de la suite géométriques renferment les termes indiqués.

    t2 = -6 et t5 = -162

  • Bonjour je suis bloquée pour un exercice et j’aimerais savoir si vous pouviez m’aider

    déterminer si la suite suivante est géométrique. Si oui, donner le premier terme et la raison

    Vn = (-7)^n

    merci d’avance :)

    • Bonjour Solène !
      En fait, il y a une propriété qui affirme que si tu rencontres une suite (U) telle que U(n)=a×b^n alors c’est la suite géométrique de premier terme a et de raison b.
      Ici, ta suite s’écrit : V(n)=1×(-7)^n (j’ai rajouté le 1 qui ne change rien au calcul, juste pour que tu voies le lien avec la propriété)
      (V) est donc c’est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison (-7).

      Voilà, n’hésite pas à poser d’autres questions si ce n’est pas clair !
      Neige

  • Soit la suite (Un) définir par U0 = 10
    Un+1 = 2/3 Un+1
    Calculer U1 ; U2 et U3.

  • Bonjour je bloque sur une question d’un dm :
    On considère les suites positives (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
    𝑢0 = 12 et 𝑣0 = 1
    𝑢𝑛+1 =1/3*(U𝑛 + 2Vn) 𝑣𝑛+1 =1/3(U𝑛 + 2V𝑛)

    Montrer que la suite (w) définie par wn = vn – un est une suite géométrique.
    Je ne sais pas de quelle manière démontrer que c’est géométrique, je bloque avec le fait que Un+ et Vn+1 ont la "même expression" : 1/3(un+2vn)
    Merci d’avance

    • Bonjour Paul
      Cela m’a tout l’air d’être une erreur d’énoncé.
      Es-tu certain que u(n+1) et v(n+1) sont identiques ?
      S’il n’y a pas d’erreur, cela signifie que w(n) est nul pour tout entier non nul. C’est effectivement une suite géométrique (mais l’intérêt d’une telle suite est limité).
      Bon courage et n’hésite pas à revenir par ici !
      Neige

  • Merci de votre aide j’ai vraiment essayer mais j’ai l’impression d’avoir faut

    U0=20. V0=60. Un+1=(2un+vn)/4. Vn+1=(un+2vn)/4
    A) montrer que (un+vn) et (vn+un) sont géométrique

    B) exprimer un+vn et vn-un en fonction de n

    C) en déduire l’expression de un. Puis un en fonction de n

    D) déterminer la limite de chacune des suite (un) et (vn)

    Moi j’ai trouver pour
    A) (un+vn) =3/4(un+vn)
    (vn-un)=1/4(vn-un)

    B) un+vn= (un+vn) (3/4)^n
    Vn-un=(vn-un) (1/4)^n
    J’aimerai savoir si c juste

    Pour le reste j’ai vraiment pas réussi merci de votre aide

    • Bonjour Lisa et désolé pour la réponse tardive.

      Bravo, la question A est réussie, mais je crois que tu as juste oublié le +1 dans les indices à gauche :
      u(n+1)+v(n+1) =3/4(un+vn)
      v(n+1)-u(n+1)=1/4(vn-un)

      Pour la B, c’est presque ça mais il faudrait écrire :
      un+vn= (u0+v0) (3/4)^n
      vn-un=(v0-u0) (1/4)^n

      Pour la C, si on ajoute les deux lignes précédentes, on obtient :
      un + vn + vn - un = (u0+v0) (3/4)^n + (v0-u0) (1/4)^n
      C’est à dire 2vn = (u0+v0) (3/4)^n + (v0-u0) (1/4)^n
      Tu n’as plus qu’à diviser par 2 pour obtenir vn (tu peux aussi remplacer u0 et v0 par leurs valeurs) !
      Si tu souhaites obtenir u(n), tu peux soustraire les lignes au lieu de les additionner.

      Je pense que si tu arrives jusqu’ici, tu pourras calculer les limites en faisant tendre n vers l’infini. Si ce n’est pas le cas, écris moi sans hésiter !
      Courage !
      Neige

  • Salut !
    J’ai une suite Un ou U0=10 et Un+1=(2/3)Un +1
    J’aimerais calculer U1 U2 U3
    Aussi Vn est défini par Vn=Un-3
    Me calculer aussi v0 v1 V2
    J’ai fais les 2 première question mais je bloque ici :
    Déterminer la nature de la suite Vn et préciser ses éléments caractéristiques et exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
    Enfin je dois calculer Sn=V0+V1+...Vn et déduire Sn’=U0+U1+U2...Un
    J’espère qu’on peut m’aider merci

    • Bonsoir Karim,
      Voici quelques idées qui, je l’espère, t’aideront à avancer.
      Tout d’abord, si on te demande de déterminer la nature de (Vn), il peut être utile de regarder ce qu’il se passe sur les premiers termes. Tu peux vérifier que pour passer de V0 à V1, on multiplie par 2/3 et c’est également ce qu’il se passe pour passer de V1 à V2.

      Cela ne permet pas d’affirmer avec certitude que la suite est géométrique mais on peut essayer de le prouver.

      Pour faire cela, tu peux essayer de montrer que V(n+1) = 2/3 × V(n).
      Allons y :
      V(n+1) = U(n+1) - 3 (d’après la définition de (Vn))
      = 2/3 × U(n) + 1 - 3 (d’après la définition de (Un))
      = 2/3 × U(n) - 2
      = 2/3 × (U(n) - 3) (en factorisant par 2/3)
      = 2/3 × V(n)
      Et voilà... Il ne te reste plus qu’à exprimer V(n) en fonction de n.
      Tu pourras en déduire U(n) en fonction de n car V(n) = U(n) - 3.
      Pour la somme des termes, tu peux utiliser une formule de ton cours.

      Ecris moi si ce n’est pas clair.
      Bon courage à toi,
      Neige

  • J’ai une suite (Un) ou Un+1= Un/2+1 et U0=0

    Ensuite j’ai (Vn)= Un+1 et je dois démontrer que la suite (Vn) est géométrique puis dire sa raison et son premier terme.

    Mais je ne parviens pas à trouver la piste pour commencer, j’ai essayé plusieurs technique mais je n’y arrive pas, est-ce possible que vous m’aidiez sil vous plait.

    • Bonsoir Roman,
      Es-tu certain de ton énoncé ? Si on calcule les premiers termes, on obtient :
      U0 = 0 donc V0 = 1
      U1 = 1 donc V1 = 2
      U2 = 1,5 donc V2 = 2,5
      On s’aperçoit que (Vn) n’est pas géométrique...(on passe de V0 à V1 en multipliant par 2 mais on ne passe pas de V1 à V2 en multipliant par 2).
      Je pense que si on remplace ton énoncé par Vn = Un - 2, cela fonctionne mieux mais je te laisse vérifier. Dans ce cas, il faudra utiliser la technique décrite dans la vidéo.
      N’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonsoir,
    La question est la suivante : Montrez que la suite Vn est géométrique de raison 1/2.

    J’ai pour suite (Un) où U1=1 et Un+1=((n+1)/(2n+4)Un
    et Vn=(n+1)Un

    J’arrive donc à en conclure que Vn+1=(n+1)((n+1)/(2n+4)Un)
    mais je ne vois pas comment à partir de ce calcul je peux retrouver Vn+1=(n+1)Un*(1/2)

    Pourriez vous m’aidez au sujet du développement afin de retrouver le bon résultat ?

    • Bonsoir Flamme !
      Voici un peu d’aide.
      Tout d’abord, ton V(n+1) n’est pas correct.
      En effet, si V(n) = (n+1) * U(n) alors V(n+1) = (n+2) * U(n+1)
      (on remplace tous les n par n+1)
      Cela donne :
      V(n+1)=(n+2)(n+1)/(2n+4) * Un
      En factorisant le dénominateur par 2, on obtient :
      V(n+1)=(n+2)(n+1)/[2(n+2)] * Un
      Et en simplifiant par n+2, on obtient :
      V(n+1)=(n+1)/2 * Un, c’est à dire pile 1/2 * Vn !!!
      Voilà, j’espère que cela t’a aidé.
      Reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour, j’ai un DM à rendre et j’ai déjà commencé l’exercices, cependant je bloque sur deux questions.

    _voici l’ennoncé : le système de climatisation d’une voiture fonctionne grâce a une certaine masse de gaz stocké dans un réservoir. On suppose que naturellement le système vers 0,1 g de gaz chaque jour.Un automobiliste possède une voiture dans la masse de gaz dans le réservoir est de 550 g
    voici les données que j’ai déjà trouvé :
    Uo=550
    Un+1=0,99Un-o,1
    De plus, il existe une constante de terme général Vn qui vérifie la même relation de récurrence que la suite Un.
    j’ai trouvé : Vn= Vn-[Vn/100]+0,1

    voici ma 1ère question : montrer que la suite Wn, Défini pour tout entier naturel n>=0, par Wn=Un-Vn, et d’une suite géométrique donc on donnera le premier terme et la raison.

    la seconde : En déduire une expression de Un en fonction de n.
    merci pour votre aide ;)

    • Bonsoir !
      ALors, j’essaie de reprendre tes données :
      U(0) = 550
      U(n+1) = 0,99U(n) - 0,1
      Si V vérifie la même relation de récurrence que U alors on devrait avoir :
      V(n+1) = 0,99V(n) - 0,1
      Ce n’est pas ce que tu as écrit. Es-tu certain de ta réponse ?
      Ce qui est certain, c’est que la suite W définie par :
      W(n) = U(n) - V(n) est bien géométrique. Voici la preuve :
      W(n+1) = U(n+1) - V(n+1)
      = [0,99U(n) - 0,1] - [0,99V(n) - 0,1]
      = 0,99U(n) - 0,1 - 0,99V(n) + 0,1
      = 0,99U(n) - 0,99V(n)
      = 0,99(U(n) - V(n))
      = 0,99W(n)
      Donc W est bien géométrique , de raison 0,99.
      Pour le premier terme, il faudrait connaître V(0)...
      J’espère que ce message t’aura été utile. Bon courage pour la suite et n’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair !
      Neige

  • Bonjour, j’ai un DM à rendre et je bloque sur une question qui est totalement indépendante par rapport aux autres.

    Voici l’énoncé :
    Soit x appartient à R*, montrer que la suite (e^nx)n est une suite géométrique et donner sa raison.

    Merci pour votre aide.

    • Bonjour Wanat Olkan,
      Effectivement, si x est fixé, e^x est est nombre fixé lui aussi.
      Or, on peut écrire que e^(nx) = (e^x)^n
      La suite s’écrit alors a^n où a = e^x.
      Cela justifie qu’elle est géométrique (de raison e^x) et de 1er terme 1.
      Je en sais pas si mes explications sont assez claires. N’hésite pas à réécrire dans le cas contraire.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour,
    Je vous remercie de votre réponse, mais je n’ai pas compris où est passé le deuxième "n" de la suite :
    " (e^nx)n "

    J’ai donc compris que e^(nx) = (e^x)^n et qu’ainsi on peut écrire la suite a^n avec a = e^n , mais je ne comprends pas se qu’on a fait du deuxième n, pouvez-vous m’éclairer s’il vous plaît.
    Merci,

  • Je bloque sur cet exercice si vous pouvez m’aider
    Soit (Un) une suite définie par récurrence avec u1= 1/2 et Un+1= 1/6 Un + 1/3

    1) Soit Vn = Un- 2/5 et n supérieur ou égal à 1 montrer que Vn est une suite géométrique et préciser sa raison

    2) Déduire l’expression de Vn en fonction de n, puis celle de Un

    • Bonjour M,
      Voici quelques pistes :
      V(n+1) = U(n+1) - 2/5 (d’après l’énoncé en remplaçant n par n+1)
      Or U(n+1) = 1/6 U(n) + 1/3
      Remplace cette relation dans la première,
      Tu obtiendras :
      V(n+1) = 1/6 U(n) - 1/15
      En factorisant le membre de droite par 1/6, tu obtiendras une jolie relation entre V(n+1) et V(n)...qui te permettra de conclure que V est géométrique de raison 1/6.
      N’hésite pas à revenir par ici si tu as besoin d’aide.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour, j’ai le DM suivant
    Déterminer x réel pour que les trois réels 2x-1 ;x+1 ;1-3x soient trois termes d’une suite géométrique ?

    • Bonjour blanche,
      En voici une question intéressante !
      Sais-tu si ces nombres sont consécutifs ?

      • Si oui, tu peux écrire que les rapports (divisions) entre deux termes consécutifs sont égaux, ce qui te fournit des équations du second degré à résoudre (tu peux essayer toutes les combinaisons possibles pour l’ordre des termes).
        Par exemple, si les termes donnés dans l’énoncé sont des termes consécutifs d’une suite géométrique dans l’ordre 2x-1 < x+1 < 1-3x alors (x+1)/(2x-1) = (1-3x)/(x+1) avec x différent de 1/2 ou -1. Ensuite, tu peux faire un produit en croix. Après avoir résolu cela , il faudra passer à un ordre différent et recommencer.
      • Si non, le problème est compliqué ! Il y a davantage d’inconnues que de solutions, il faudrait que je me penche plus longuement sur ce problème (n’hésite pas à revenir par ici si tu as une idée).
        Bon courage à toi !
        Neige

  • Bonjour , je ne trouve pas de solutions à ce problème si possible de m’aider .
    Merci beaucoup .

    • Bonjour Celeste,
      Tu as bien fait de poser cette question.
      Pour y répondre, il faudrait que tu me dises comment est définie la suite (Un). Cette information doit être présente dans ton énoncé sous la forme d’une définition par récurrence : "U(n+1) = ....".
      Si la difficulté persiste, n’hésite pas à écrire de nouveau en précisant cette information.
      A bientôt
      Neige

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