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Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

vendredi 30 décembre 2016, par Neige

Méthode

On considère une suite géométrique $(u_n)$ dont on connaît la raison $q$ et le premier terme $u_0$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n$.
Cette dernière égalité est une réponse aux questions :

  • "Exprimer $u_n$ en fonction de $n$."
  • "Donner une expression explicite de $u_n$."

Attention : cette expression n’est valable que si la suite est géométrique (il faut donc s’assurer qu’on a déjà montré que la suite était géométrique dans une question antérieure).

Remarque : dans certains cas, la suite géométrique n’est pas définie à partir du rang 0 mais à partir du rang 1 ou du rang 2 (ou d’un rang encore plus grand). Dans ces cas, on peut utiliser l’une des expressions suivantes :
$u_n=u_1\times q^{n-1}$
$u_n=u_2\times q^{n-2}$
$u_n=u_3\times q^{n-3}$
...
$u_n=u_p\times q^{n-p}$

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0=3$.
    Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Voir la solution

D’après le cours, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3\times (\frac{1}{2})^n$
(Attention à ne pas oublier les parenthèses autour de $\frac{1}{2}$ !).

  • Niveau facile
    On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison 8 et de premier terme $u_1=5$.
    Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Voir la solution

D’après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $u_n=5\times 8^{n-1}$

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_1=4$ et définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n+1}=5\times u_n-2$. On considère, de plus, la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $v_{n}=u_n-\frac{1}{2}$.
    Montrer que $(v_n)$ est géométrique puis donner une expression explicite de son terme général.
Voir la solution

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.
$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{2}$ d’après l’énoncé.
$v_{n+1}=(5\times u_n-2)-\frac{1}{2}$ d’après l’énoncé.
$v_{n+1}=5\times u_n-\frac{5}{2}$
$v_{n+1}=5\times (u_n-\frac{1}{2})$ en factorisant par 5.
$v_{n+1}=5\times v_n$ d’après l’énoncé.

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 5 et de premier terme $v_1=u_1-\frac{1}{2}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$.
D’après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $v_n=\frac{7}{2}\times 5^{n-1}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Bonjour,
    Je n’arrive pas à trouver le terme générale de cette suite...
    un+2 = 2un+1 + 3un
    Pouvez-vous m’aidez ?
    Merci ^^

  • Bonjour je n’arrive pas à montrer que ces suites sont géométriques et préciser le 1ere terme et la raison.
    1.un=2e puissance -n
    2.un=-5epuissance-n+2
    3.un=3epuissance1 sur e puissance 3n+1
    Merci d’avance

    • Bonjour Jade,
      Voici un peu d’aide pour la première question. Je pense que tu sauras faire les autres après ces indications.

      Une suite u est géométrique lorsque pour tout entier n,
      u(n+1) = k × u(n) où k est une constante (pas de n dans son expression)
      ou alors, ce qui revient au même à condition que u(n) ne soit jamais nul,
      u(n+1) / u(n) = k
      Lorsqu’on obtient un nombre k indépendant de n, la suite est géométrique et la raison est k.

      Pour ta question 1,
      u(n+1) / u(n) = 2e^(-(n + 1)) / [2e^(-n)]
      = e^(-n - 1) / e^(-n)
      = e^(-n - 1 - (-n))
      = e^(-n - 1 + n)
      = e^(-1)
      Le nombre e^(-1) est indépendant de n donc la suite u est géométrique de raison e^(-1).
      Pour le 1er terme, on calcule :
      u(0) = 2e^(-0) = 2

      Voilà, j’espère que cela va t’aider. Sinon, tu peux poser une nouvelle question sans problème.
      Bon courage !
      Neige

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