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Utiliser la formule des probabilités conditionnelles

jeudi 28 décembre 2017, par Neige

Méthode

Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est conseillé de prendre préalablement connaissance de celle-ci : Construire un arbre pondéré.

Seules deux formules sont au programme de Tale ES. L’utilisation de l’une d’elles est l’objet de cet article. Elle relie la notion de probabilité conditionnelle à celle de probabilité d’une intersection. On peut également dire que c’est une formule qui donne un sens à la notion de probabilité conditionnelle.

Etant donnés deux évènements $A$ et $B$ de probabilités non nulles alors $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
Personnellement, je retiens cette formule en remarquant que les $A$ sont "en bas" des deux côtés de l’égalité.

Cette formule s’écrit aussi : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
Cette expression s’obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par $P(A)$.

Il est important de remarquer que cette dernière formule se traduit graphiquement par la multiplication des probabilités rencontrées sur un chemin :

Dans les exercices, on vous demandera de calculer $P(A\cap B)$, $P(A)$ ou $P_A(B)$ à partir des deux autres données.
Par ailleurs, il est souvent utile de garder en tête que l’intersection est une opération commutative, c’est à dire que $P(A\cap B)=P(B\cap A)$. On peut ainsi écrire $P(A\cap B)$ de deux façons différentes :
$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Soient $A$ et $B$ deux évènements.
    On sait que $P(A\cap B)=0,8$ et $P(B)=0,95$.
    Déterminer une valeur approchée au millième de $P_B(A)$.
Voir la solution

D’après la formule des probabilités conditionnelles, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,8}{0,95}\approx 0,842$.

  • Niveau facile
    Soient $C$ et $D$ deux évènements.
    On sait que $P(C)=0,6$ et $P_{\bar{C}}(D)=0,72$.
    Déterminer la valeur exacte de $P(\bar{C}\cap D)$.
Voir la solution

D’après la formule des probabilités conditionnelles, $P(\bar{C}\cap D)=P(\bar{C})\times P_{\bar{C}}(D)$.
Or $P(\bar{C})=1-P(C)=1-0,6=0,4$.
Par conséquent, $P(\bar{C}\cap D)=0,4\times 0,72=0,288$.

  • Niveau moyen
    Dans une urne, on place 10 boules : 6 rouges et 4 bleues.
    On tire au hasard, successivement et sans remise, 2 boules de l’urne.
    On note :
    – $R_1$ l’évènement "tirer une boule rouge au 1er tirage".
    – $B_1$ l’évènement "tirer une boule bleue au 1er tirage".
    – $R_2$ l’évènement "tirer une boule rouge au 2ème tirage".
    – $B_2$ l’évènement "tirer une boule bleue au 2ème tirage".
    Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ? (on pourra construire un arbre)
Voir la solution

Une remarque importante : tirer "sans remise" signifie que les boules tirées ne sont pas remises dans l’urne. Lorsqu’un tirage a été effectué, la proportion de boules rouges ou bleues change et doit donc être recalculée pour le 2nd tirage.
Par exemple, la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage est de $\frac{4}{10}$. Au 2ème tirage, il n’y aura que 6 boules rouges et 3 boules bleues. La probabilité de tirer une autre boule bleue sera, dans ce cas, de $\frac{3}{9}$.
Construisons un arbre (même si ce n’est pas absolument nécesssaire pour résoudre l’exercice) :

Ainsi, $P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{1}{3}$ (on multiplie les probabilités rencontrées sur le chemin).
La probabilité de tirer deux boules rouges consécutives est de $\frac{1}{3}$.

  • Niveau moyen
    Dans un lycée, $45,8 \%$ des élèves se connectent à internet au moins 6 fois par jour. On sait que $48 \%$ des garçons et $44 \%$ des filles se connectent à internet au moins 6 fois par jour. Enfin, $21,6 \%$ des élèves sont des garçons qui se connectent à internet au moins 6 fois par jour.
    On rencontre un élève de ce lycée au hasard et on note :
    – $G$ l’évènement "l’élève rencontré est un garçon".
    – $F$ l’évènement "l’élève rencontré est une fille".
    – $I$ l’évènement "l’élève rencontré se connecte à internet au moins 6 fois par jour".
  1. Traduire les données chiffrées de l’énoncé dans le langage des probabilités.
  2. Calculer $P(G)$, $P(F\cap I)$ et une valeur approchée au millième de $P_{\bar{I}}(F)$. On pourra utiliser un arbre.
Voir la solution

1. On peut déduire de l’énoncé que : $P(I)=0,458$, $P_G(I)=0,48$, $P_F(I)=0,44$ et $P(G\cap I)=0,216$.
En cas de difficulté, vous pouvez relire Traduire un texte dans le langage des probabilités.

2. A ce stade de l’exercice, on peut construire l’arbre suivant :

Pour calculer $P(G)$, on peut se rappeler que "la probabilité d’une intersection est le produit des probabilités rencontrées sur le chemin".
Ainsi, à l’aide de l’arbre, $P(G\cap{I})=P(G)\times P_G(I)$.
On en déduit que $P(G)=\frac{P(G\cap{I})}{P_G(I)}=\frac{0,216}{0,48}=0,45$.
On complète l’arbre :

De façon analogue, $P(F\cap{I})=P(F)\times P_F(I)=0,55\times 0,44=0,242$.
Enfin, pour calculer $P_{\bar{I}}(F)$ qui n’est pas lisible directement sur cet arbre, on utilise encore la même formule, écrite sous forme d’un quotient cette fois :
$P_{\bar{I}}(F)=\frac{P(\bar{I}\cap{F})}{P(\bar{I})}=\frac{0,55\times 0,56}{1-0,458}\approx 0,568$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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