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Traduire un texte dans le langage des probabilités

lundi 10 avril 2017, par Neige

Méthode

Au Bac, les exercices de probabilités reposent très souvent sur une situation "réelle", c’est à dire un texte dans lequel il va falloir extraire des informations mathématiques.
De façon analogue, il va souvent falloir traduire les questions en termes mathématiques (et c’est bien souvent la partie la plus difficile de l’exercice).

Pour mener à bien cette tâche, on recommande évidemment de relire l’énoncé plusieurs fois et de surligner les informations numériques. Mais il faut également faire attention au vocabulaire employé afin de distinguer une probabilité conditionnelle de la probabilité d’une intersection (la confusion des deux est un écueil classique ). Cette dernière distinction est parfois subtile comme le montre l’exemple suivant :

  • « 20% des pommes du rayon fruits du supermarché sont vertes » : probabilité conditionnelle. Autrement dit, parmi les pommes du rayon fruit (ou encore sachant que l’on considère des pommes du rayon fruit), 20 % sont vertes.
  • « 20% des fruits au supermarché sont des pommes vertes » : probabilité d’une intersection. Autrement dit, parmi l’ensemble des fruits du rayon, 20% ont les caractéristiques "pomme" ET "vert".

Lorsqu’on hésite entre probabilité conditionnelle et probabilité d’une intersection, on peut se poser la question « est-ce que le pourcentage annoncé est un pourcentage relatif à une partie ou à un tout ? ». Si c’est une partie, alors il y a fort à parier que la probabilité recherchée est conditionnelle.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen (d’après Bac)
    On s’intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles.
    La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines M1 et M2. La machine M1 remplit la bouteille de lait et la machine M2 met le bouchon.
    Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d’établir que 5% des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8% ont un bouchon. D’autre part, 4% des bouteilles correctement remplies n’ont pas de bouchon.
    On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :
    • R, l’évènement : « la bouteille est correctement remplie » ;
    • B, l’évènement : « la bouteille a un bouchon ».

1. Traduire les pourcentages donnés dans l’énoncé dans le langage des probabilités.
2. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la bouteille est correctement remplie et qu’elle a un bouchon.
3. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que, sachant que la bouteille a un bouchon, elle est correctement remplie.

Voir la solution

1. « 5% des bouteilles ne sont pas correctement remplies » se traduit par $p(\bar{R})=0,05$.
« parmi elles, 8% ont un bouchon » se traduit par $p_{\bar{R}}(B)=0,08$. En effet, le pourcentage ne fait pas référence à l’ensemble des bouteilles mais seulement à celles qui sont mal remplies. On pourrait faire une traduction intermédiaire en français : « sachant que la bouteille est mal remplie, la probabilité qu’elle ait un bouchon est de 8% ». D’où la traduction par une probabilité conditionnelle.
Enfin, « 4% des bouteilles correctement remplies n’ont pas de bouchon » se traduit par $p_{R}(\bar{B})=0,04$. En effet, parmi les bouteilles correctement remplies (ou autrement dit : sachant qu’on considère les bouteilles correctement remplies), 4% n’ont pas de bouchon. Ici, le pourcentage ne fait pas référence à l’ensemble des bouteilles mais seulement à celles qui sont correctement remplies. D’où, à nouveau, la traduction par une probabilité conditionnelle.

2. Ici, on ne fait pas référence à une partie des bouteilles mais à toutes les bouteilles. Autrement dit, on cherche à écrire la probabilité que, parmi toutes les bouteilles, on trouve une bouteille cumulant deux propriétés : "correctement remplie" ET "a un bouchon". Il s’agit donc de la probabilité $p(R\cap B)$.

3. Il s’agit cette fois de la probabilité conditionnelle : $p_{B}(R)$.

  • Niveau moyen (d’après Bac)
    Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
    On sait que :
    • 15% des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
    • Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.
    • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.
    On désigne par E l’évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation » et par V l’évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».
    On achète de façon aléatoire un sac de pommes.

1. Traduire les pourcentages donnés dans l’énoncé dans le langage des probabilités.
2. On sait que le sac acheté contient des pommes d’une seule variété. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que le sac ait été acheté directement sur l’exploitation agricole.
3. Définir par une phrase l’écriture $p(E\cap V)$.

Voir la solution

1. « 15% des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole » se traduit par $p(E)=0,15$.
« Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par $p_E(V)=0,8$.
« Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par $p_{\bar{E}}(V)=0,1$.

2. La phrase se traduit par $p_{\bar{V}}(E)$.

3. Ici, on parle de la probabilité que le sac soit vendu dans l’exploitation agricole et contienne des pommes de variété différentes.

  • Niveau moyen (d’après Bac)
    On interroge des français de plus de 15 ans sur le nombre de langues étrangères qu’ils parlent « bien », c’est-à-dire qu’ils parlent suffisamment bien pour participer à une conversation. À l’issue du sondage, on observe que l’échantillon des personnes
    interrogées est partagé en trois catégories :
    • 44% des personnes interrogées ne parlent « bien » aucune langue étrangère.
    • 28% des personnes interrogées parlent « bien » une langue étrangère.
    • 28% des personnes interrogées parlent « bien » deux ou plus de deux langues étrangères.
    (d’après EUROBAROMÈTRE 64.3 Commission Européenne 2005)
    Ces trois catégories seront désignées dans la suite du problème respectivement par L0, L1 et L2+.
    • 56% des personnes de la catégorie L1 citent l’anglais comme la langue étrangère qu’elles parlent « bien ».
    • 73% des personnes de la catégorie L2+ citent l’anglais parmi les langues étrangères qu’elles parlent « bien ».
    On choisit de manière aléatoire une personne de cet échantillon.
    On note :
    E0 l’évènement : « la personne ne parle bien aucune langue étrangère »,
    E1 l’évènement : « la personne parle bien une langue étrangère »,
    E2+ l’évènement : « la personne parle bien deux ou plus de deux langues étrangères »,
    A est l’évènement : « la personne parle bien l’anglais ».

1. Traduire les pourcentages donnés dans l’énoncé dans le langage des probabilités.
2. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu’elle ne parle pas « bien » l’anglais.
3. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne choisie ne parle pas « bien » l’anglais.
4. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu’elle parle « bien » l’anglais.

Voir la solution

1. « 44% des personnes interrogées ne parlent bien aucune langue étrangère » se traduit par $p(E0)=0,44$.
« 28% des personnes interrogées parlent bien une langue étrangère » se traduit par $p(E1)=0,28$.
« 28% des personnes interrogées parlent « bien » deux ou plus de deux langues étrangères » se traduit par $p(E2+)=0,28$.
« 56% des personnes de la catégorie L1 citent l’anglais comme la langue étrangère qu’elles parlent bien » se traduit par $p_{E1}(A)=0,56$.
« 73% des personnes de la catégorie L2+ citent l’anglais parmi les langues étrangères qu’elles parlent bien » se traduit par $p_{E2+}(A)=0,73$.

2. « la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu’elle ne parle pas bien l’anglais » se traduit par $p(E1\cap \bar{A})$.

3. « la probabilité que la personne choisie ne parle pas bien l’anglais » se traduit par $p(\bar{A})$.

4. « la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu’elle parle bien l’anglais » se traduit par $p_A(E2+)$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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