Calculer la probabilité d’une réunion avec un arbre

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est important d’avoir compris celles-ci : Construire un arbre pondéré et Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

On considère deux évènements $A$ et $B$ faisant partie d’un univers muni d’une loi de probabilité $P$.

$A\cup B$, qui se lit "$A$ union $B$", est la traduction mathématique de "$A$ ou $B$", le "ou" étant inclusif (c’est à dire que si $A$ et $B$ sont tous les deux réalisés alors $A$ ou $B$ l’est aussi).

Lorsque $A$ et $B$ sont disjoints, c’est à dire lorsque ces évènements ne peuvent pas être réalisés en même temps, alors :
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Dans un arbre de probabilités, tous les chemins partant de la racine et arrivant à une feuille représentent des évènements disjoints :

Par conséquent, en reprenant les notations de l’illustration précédente, si on demande de calculer la probabilité de $C\cap \bar D$ ou $\bar C\cap D$ (chemins 1 et 3), il suffit d’écrire que cette probabilité vaut : $P(C\cap \bar D)+P(\bar C\cap D)$. On peut poursuivre le calcul avec la formule des probabilités conditionnelles (Utiliser la formule des probabilités conditionnelles).

En résumé,

• On construit un arbre.
• On repère les chemins correspondants à l’évènement dont on doit calculer la probabilité.
• On ajoute les probabilités des chemins.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  Voici un arbre :

  

  Calculer la probabilité de $A\cap B$ ou $\bar A \cap \bar B$.

• Niveau moyen
  Dans un sac contenant 5 jetons indiscernables au toucher, 2 jetons portent le symbole "-" et 3 jetons portent le symbole "+".
  On tire au hasard, successivement et sans remise deux jetons en notant les symboles obtenus.
  Remarques :
  – "successivement" signifie "un jeton après l’autre".
  – "sans remise" signifie "on ne remet pas le jeton tiré dans le sac avant de tirer le suivant".
  On note :
  – $S_1$ l’évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 1er tirage.
  – $A_1$ l’évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 1er tirage.
  – $S_2$ l’évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 2ème tirage.
  – $A_2$ l’évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 2ème tirage.

1. Construire un arbre représentant la situation.
2. On appelle $E$ l’évènement : "les deux jetons tirés portent un symbole différent". Calculer $P(E)$.

Voir la solution

1. D’après l’énoncé, $P(S_1)=\frac{2}{5}$ et $P(A_1)=\frac{3}{5}$.
Au 2ème tirage, il y a une boule de moins donc $P_{S_1}(S_2)=\frac{1}{4}$, $P_{S_1}(A_2)=\frac{3}{4}$, $P_{A_1}(S_2)=\frac{2}{4}$ et $P_{A_1}(A_2)=\frac{2}{4}$.
Ces informations permettent de construire l’arbre suivant :

2.
$\begin{align} P(E) & =P(S_1\cap A_2)+P(A_1 \cap S_2) \\ & = P(S_1)\times P_{S_1}(A_2)+P(A_1)\times P_{A_1}(S_2) \\ & = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{4} \\ & = \frac{12}{20} \\ & = 0,6 \end{align}$
La probabilité d’obtenir deux jetons comportant un symbole différent est de 60 %.

• Niveau moyen
  Le responsable d’une compagnie d’assurance de voitures de luxe analyse les résultats de la journée : 6 nouveaux contrats ont été signés !
  – 3 clients ont choisi la formule "assurance Basique".
  – 2 clients ont choisi la formule "assurance Renforcée".
  – 1 client a choisi la formule "assurance Etendue".
  Le responsable tire, au hasard, successivement et sans remise 2 contrats parmi les 6 précédents.
  On note :
  – $B_1$ l’évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 1er tirage.
  – $B_2$ l’évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 2ème tirage.
  – $R_1$ l’évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 1er tirage.
  – $R_2$ l’évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 2ème tirage.
  – $E_1$ l’évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 1er tirage.
  – $E_2$ l’évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 2ème tirage.
  1. Construire un arbre représentant la situation.
  2. Quelle est la probabilité que les 2 contrats choisis correspondent à la même formule d’assurance ?

Voir la solution

1. D’après l’énoncé, $P(B_1)=\frac{3}{6}$, $P(R_1)=\frac{2}{6}$ et $P(E_1)=\frac{1}{6}$.
Pour le 2ème tirage, il n’y aplus que 5 dossiers donc :
$P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{5}$, $P_{B_1}(R_2)=\frac{2}{5}$ et $P_{B_1}(E_2)=\frac{1}{5}$.
De plus, $P_{R_1}(B_2)=\frac{3}{5}$, $P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{5}$ et $P_{R_1}(E_2)=\frac{1}{5}$.
Enfin, $P_{E_1}(B_2)=\frac{3}{5}$, $P_{E_1}(R_2)=\frac{2}{5}$ et $P_{E_1}(E_2)=0$ (on ne dessine pas la branche).
D’où l’arbre :

2. Comme on ne peut pas tirer 2 dossiers correspondant à l’assurance Etendue, la probabilité recherchée est :
$\begin{align} & P(B_1\cap B_2)+P(R_1 \cap R_2) \\ = & P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)+P(R_1)\times P_{R_1}(R_2) \\ = & \frac{3}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\times \frac{1}{5} \\ = & \frac{8}{30} \\ \approx & 0,27 \end{align}$
La probabilité d’obtenir deux contrats correspondant à la même formule d’assurance est d’environ 27 %.

• Niveau difficile
  Dans un sac, il y a 3 petits cartons indiscernables au toucher. Sur 2 d’entre eux, il est écrit "Repiochez !" et sur le 3ème, on peut lire "C’est terminé !".
  Un joueur pioche au hasard un carton dans le sac.
  – S’il obtient un carton sur lequel il est écrit "Repiochez !", il pose le carton hors du sac et repioche un autre carton.
  – S’il obtient le carton "C’est terminé !", le jeu s’arrête.
  Quelle est la probabilité que le jeu s’arrête alors qu’il reste encore au moins un carton dans le sac ?

Voir la solution

On note :
– $R_1$ l’évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 1ère pioche.
– $R_2$ l’évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 2ème pioche.
– $F_1$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 1ère pioche.
– $F_2$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 2ème pioche.
– $F_3$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 3ème pioche.
D’après l’énoncé,
$P(R_1)=\frac{2}{3}$ et $P(F_1)=\frac{1}{3}$.
$P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{2}$ et $P_{R_1}(F_2)=\frac{1}{2}$.
$P_{R_1\cap R_2}(F_3)=1$ (car il ne reste plus qu’un seul carton).
D’où l’arbre :

La probabilité recherchée est :
$\begin{align} & P(F_1)+P(R_1 \cap F_2) \\ = & P(F_1)+P(R_1)\times P_{R_1}(F_2) \\ = & \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \\ = & \frac{2}{3} \end{align}$
Il y a 2 chances sur 3 pour que le jeu s’arrête alors qu’il reste encore au moins un carton dans le sac.

Remarque : on aurait pu rechercher la probabilité de l’évènement complémentaire de celui recherché, qui est : "les trois cartons ont été piochés". En calculant le complémentaire à 1 de cette probabilité, on aurait obtenu le même résultat.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• la question 2.b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
• la question A.2b de Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2.