Déterminer un seuil sous condition avec une loi normale

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est impératif de maîtriser celle-ci : Calculer des probabilités avec une loi normale

On considère une variable aléatoire réelle $X$ qui suit une loi normale dont la moyenne (ou l’espérance) $\mu$ et l’écart-type $\sigma$ sont connus.
L’objet de cette méthode est d’expliquer comment calculer $a$ ou $b$ lorsque $P(X\lt a)$ ou $P(X\gt b)$ sont connues.

C’est le cas, par exemple, d’un énoncé comme celui-ci : « On sait que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$. Déterminer le nombre $a$ tel que $P(X\lt a)=0,35$. ». Cet énoncé se traduit graphiquement par la détermination d’une abscisse (un seuil) pour laquelle l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses à gauche de $a$ vaut $0,35$ :

Les calculs nécessaires à la détermination de ce seuil sont trop compliqués et on ne peut calculer que des valeurs approchées. Par conséquent on se contente de calculs à la calculatrice. La difficulté réside parfois dans la formulation de la question ou dans l’interprétation des résultats, comme nous allons le voir dans les exercices suivants.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=150$ et d’écart-type $\sigma=25$.
  Déterminer, avec la calculatrice, des valeurs arrondies au centième de $t_1$ et $t_2$ telles que $P(T\gt t_1)=0,8$ et $P(T\lt t_2)=0,4$.

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Illustrations graphiques des questions :

A l’aide de la calculatrice,
$t_1\approx 128,96$ et $t_2\approx 143,67$.
Remarque : si on utilise une calculatrice Casio, on renseigne Right lors de la détermination de $t_1$ et Left lors de celle de $t_2$.

• Niveau moyen
  (D’après Bac)
  Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge d’un client demandant un crédit immobilier peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d’écart-type 12.
  Déterminer, avec la calculatrice, des valeurs arrondies au dixième de $x_1$ et $x_2$ telles que $P(X\geq x_1)=0,1$ et $P(X\leq x_2)=0,75$.
  Interpréter les résultats obtenus.

Voir la solution

Remarque préliminaire : il n’y a pas de différence entre le calcul de $x_1$ lorsque $P(X\geq x_1)=0,1$ et $P(X\gt x_1)=0,1$ (remarque analogue pour $x_2$). Cela vient du fait que $P(X=x_1)=0$.
– La recherche de $x_1$ s’illustre graphiquement par le schéma suivant :

A l’aide de la calculatrice, $x_1\approx 55,9$.
Les utilisateurs d’une Casio doivent indiquer Right.
Cela signifie que 10 % des clients demandant un crédit immobilier ont plus de 55,9 ans. On peut aussi dire que la probabilité que le client demandant un crédit immobilier ait plus de 55,9 ans est de 0,1.
– La recherche de $x_2$ s’illustre graphiquement par le schéma suivant :

A l’aide de la calculatrice, $x_2\approx 48,6$.
Les utilisateurs d’une Casio doivent indiquer Left.
Cela signifie que 75 % des clients demandant un crédit immobilier ont moins de 48,6 ans. On peut aussi dire que la probabilité que le client demandant un crédit immobilier ait moins de 48,6 ans est de 0,75.

• Niveau difficile
  (D’après Bac)
  Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Des études ont permis d’établir que l’autonomie $D$ d’un véhicule équipé d’une batterie suit la loi normale d’espérance $\mu=200$ km et $\sigma=40$ km. Lorsque l’autonomie d’une batterie est atteinte, le véhicule s’arrête et il faut recharger la batterie.
  Traduire les questions suivantes dans le langage des probabilités puis répondre à ces questions. On arrondira les résultats au km près.

1. L’entreprise décide de remplacer gratuitement 2 % des batteries vendues (celles dont l’autonomie est la plus faible). En dessous de quelle autonomie $d_1$, une batterie est-elle remplacée gratuitement ?
2. Déterminer l’autonomie $d_2$ à partir de laquelle la probabilité que le véhicule roule encore est de 10 % ?

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1. Il s’agit de déterminer $d_1$ telle que $P(D\lt d_1)=0,02$.

A l’aide de la calculatrice, $d_1\approx 118$ km. Les batteries dont l’autonomie est inférieure à 118 km seront remplacées gratuitement.
2. Il s’agit de déterminer $d_2$ telle que $P(D\gt d_2)=0,1$.

A l’aide de la calculatrice, $d_2\approx 251$ km. A partir de 251 km, la probabilité que le véhicule roule encore est de 10 %.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• la question B.2 de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.