Calculer des probabilités avec une loi uniforme

Méthode

La loi uniforme sur l’intervalle $[a ;b]$ a pour densité une fonction très simple : la fonction constante définie pour tout $t\in[a ;b]$ par $f(t)=\frac{1}{b-a}$ comme on peut le voir sur ce schéma :

Remarque : pour retrouver la valeur de la constante $\frac{1}{b-a}$, on peut se rappeler que l’aire sous la courbe (qui est en fait un rectangle) doit valoir 1. Comme la longueur mesure $b-a$, alors la largeur vaut $\frac{1}{b-a}$.

On considère un intervalle $[c ;d]$ inclus dans $[a ;b]$ et $X$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[a ;b]$.
$P(X\in [c ;d])$ est tout simplement l’aire sous la courbe densité entre $c$ et $d$ comme on peut l’illustrer ci-dessous :

Par conséquent, l’aire de ce rectangle est le produit de sa largeur $d-c$ par sa longueur $\frac{1}{b-a}$ :
$P(X\in [c ;d])=(d-c)\times \frac{1}{b-a}=\frac{d-c}{b-a}$

Remarques :

• $P(X\in [c ;d])$ s’écrit aussi $P(c \leq X \leq d)$.
• Comme pour n’importe quelle loi continue, $P(c \leq X \leq d)=P(c \lt X \lt d)$.

En résumé, pour calculer une probabilité avec la loi uniforme sur $[a ;b]$,

• On détermine la valeur de la constante (pour la fonction densité) : $\frac{1}{b-a}$.
• On dessine un schéma sur lequel on colorie (ou on hachure) un rectangle dont l’aire correspond à la probabilité recherchée.
• On calcule cette aire ($longueur\times largeur$).

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  (d’après BAC)
  Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ;9]$. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES.
  Proposition 1 : $P(1 \lt X \lt 9)=\frac{1}{8}$.
  Proposition 2 : $P(5 \lt X \lt 9)=\frac{1}{2}$.
  Proposition 3 : $P(1 \lt X \lt 3)=\frac{3}{8}$.
  Proposition 4 : $P(1 \lt X \lt 2)=\frac{1}{8}$.

Voir la solution

La loi uniforme sur l’intervalle $[1 ;9]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{9-1}=\frac{1}{8}$ :

La proposition 1 est FAUSSE. En effet, comme l’illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 9)=1$.

Remarque  : il n’est pas vraiment nécessaire de calculer une aire ici car ce résultat fait partie de la définition de la densité d’une loi (l’aire sous la courbe vaut 1).

---

La proposition 2 est VRAIE. En effet, comme l’illustre le schéma suivant, $P(5 \lt X \lt 9)=(9-5)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.

---

La proposition 3 est FAUSSE. En effet, comme l’illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 3)=(3-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$.

---

La proposition 4 est VRAIE. En effet, comme l’illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{8}$.

• Niveau facile
  (d’après BAC)
  Dans une station de ski, le temps d’attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[1 ;5]$. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES.
  Proposition 1 : la probabilité que le temps d’attente soit supérieur à 2 minutes est de $\frac{3}{4}$.
  Proposition 2 : la probabilité que le temps d’attente soit inférieur ou égal à 2 minutes est de $\frac{3}{4}$.
  Proposition 3 : la probabilité que le temps d’attente soit inférieur ou égal à 5 minutes est de $1$.

Voir la solution

La loi uniforme sur l’intervalle $[1 ;5]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}$ :

La proposition 1 est VRAIE.
En effet, $P(X \gt 2)=P(2\lt X \lt 5)$ et comme l’illustre le schéma suivant,
$P(2 \lt X \lt 5)=(5-2)\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

---

La proposition 2 est FAUSSE. En effet, $P(X \leq 2)=P(1\lt X \lt 2)$ et comme l’illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

Remarque  : on peut aussi dire que
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(\overline{X \gt 2}) \\ & = 1-P(X \gt 2) \\ & = 1-\frac{3}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align}$
(en utilisant la question précédente pour le calcul de $P(X \gt 2)$)

---

La proposition 3 est VRAIE. En effet, $P(X \leq 5)=P(1\lt X \lt 5)=1$ (inutile de calculer l’aire, cela fait partie de la définition d’une fonction densité).

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• la question 4 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.