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Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale

date jour 1 date fmt jour mois annee, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celles-ci : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres et Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On sait calculer $P(X=k)$ pour n’importe quelle valeur de $k$ entre $0$ et $n$ mais comment calculer, par exemple, $P(X \geq 1)$ ?
C’est l’objet de cette méthode.

Pour fixer les idées, appuyons nous sur un exemple.
On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,4.
Voici la loi de probabilité de $X$ (voir le 2ème lien en tête de paragraphe pour les calculs) :

Calculer $P(X \geq 1)$ (autrement dit : la probabilité d’obtenir au moins un succès) peut se calculer de deux façons :

  • 1ère façon, en utilisant la signification de $X \geq 1$, c’est à dire en écrivant que :
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ & \approx 0,259+0,346+0,230+0,077+0,010 \\ & \approx 0,922 \end{align}$
  • 2ème façon, en utilisant le fait que la somme de toutes les probabilités du tableau vaut 1 :

    Donc
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = 1-P(X=0) \\ & = 1-0,078 \\ & = 0,922 \end{align}$
    Cette technique est très utile et repose sur la notion de probabilité d’un évènement contraire. Autrement dit, si $A$ est un évènement alors $P(A)=1-P(\bar A)$.

En résumé, pour calculer la probabilité d’un évènement faisant intervenir une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ainsi que l’un des symboles $\geq$, $\leq$, $\gt$, $\lt$ :

  • on réfléchit à la loi de probabilité sous forme d’un tableau.
  • on choisit le plus simple entre le calcul direct et le calcul utilisant la probabilité de l’évènement contraire.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,7$.
    Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ de :
  1. $P(X \geq 5)$
  2. $P(X \gt 0)$
  3. $P(X \leq 5)$
  4. $P(X \lt 2)$
Voir la solution

1. Ici, il est préférable de faire un calcul direct :
$\begin{align} P(X \geq 5) & =P(X=5)+P(X=6) \\ & = \binom{6}{5}\times 0,7^5\times 0,3^{1}+\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & \approx 0,30253+0,11765 \\ & \approx 0,4202 \end{align}$

2. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \gt 0) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & = 1-0,3^6 \\ & \approx 1-0,00073 \\ & \approx 0,9993 \end{align}$

3. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \leq 5) & =1-P(X=6) \\ & = 1-\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & = 1-0,7^6 \\ & \approx 1-0,11765 \\ & \approx 0,8824 \end{align}$

4. On fait un calcul direct :
$\begin{align} P(X \lt 2) & =P(X=1)+P(X=0) \\ & = \binom{6}{1}\times 0,7^1\times 0,3^{5}+\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & \approx 0,01021+0,00073 \\ & \approx 0,0109 \end{align}$

  • Niveau moyen
    Un QCM comporte 10 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte. Un candidat répond à toutes les questions au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le candidat réponde correctement à :
  1. au moins 2 questions ?
  2. au plus 2 questions ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \geq 2)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=1)-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}-\binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10} \\ & = 1-0,1877-0,0563 \\ & \approx 0,76 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d’environ 76 %.

2. Il s’agit de calculer $P(X \leq 2)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10}+\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}+\binom{10}{2}\times 0,25^2\times 0,75^{8} \\ & = 0,0563+0,1877+0,2816 \\ & \approx 0,53 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d’environ 53 %.

  • Niveau difficile
    Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
    Dans un lycée, la probabilité qu’un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
    On rencontre au hasard et successivement $n$ élèves.
    on admet que la variable aléatoire $X$, qui compte le nombre d’élèves faisant du sport dans une association, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.
  1. Dans cette question, $n=10$. Quelle est la probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association ?
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé. Combien doit-on rencontrer d’élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 % ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \leq 1)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 1) & =P(X=0)+P(X=1) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{10}+\binom{10}{1}\times 0,32^1\times 0,68^{9} \\ & = 0,0211+0,0995 \\ & \approx 0,12 \end{align}$
La probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association sur les 10 élèves rencontrés est d’environ 12 %.

2. Il s’agit de déterminer la valeur de $n$ telle que $P(X \geq 1)\gt 0,999$.
Or,
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{n}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{n} \end{align}$
On sait que $\binom{n}{0}=1$ et $0,32^0=1$ donc :
$P(X \geq 1) =1-0,68^n$
Par conséquent,
$\begin{align} P(X \geq 1)\gt 0,999 & \iff 1-0,68^n\gt 0,999 \\ & \iff -0,68^n\gt -0,001 \\ & \iff 0,68^n\lt 0,001 \\ & \iff n\times \ln(0,68)\lt \ln(0,001) \\ & \iff n>\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)} \end{align}$
(Comme $\ln(0,68) \lt 0$ , la dernière division change à nouveau le sens de l’inégalité.)
Or $\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)}\approx 17,91$ donc on doit interroger au moins 18 élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 %.

Remarque : si vous n’avez pas encore vu les logarithmes, vous pouvez essayer de trouver le résultat par essais successifs à la calculatrice, vous gagnerez toujours quelques points.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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