Prendre une décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation

1. D’après l’énoncé, $p=0,75$ et $n=50$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=37,5 \geq 5$ et $n(1-p)=12,5 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} \right ]$
$I\approx [0,630 ;0,870]$
On constate que $f=0,6\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,75$.
2. Seule la valeur de $f$ change donc on peut reprendre l’intervalle $I \approx [0,630 ;0,870]$ calculé à la question précédente.
On constate que $f=0,65\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.
3. D’après l’énoncé, $p=0,75$ et $n=30$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=22,5 \geq 5$ et $n(1-p)=7,5 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} \right ]$
$I\approx [0,595 ;0,905]$.
On constate que $f=0,6\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.

1. La fréquence d’appartements rentables est $f=\frac{120}{280}\approx 0,429$.
2. D’après l’énoncé, la probabilité qu’un appartement soit rentable est $p=0,6$ et la taille de l’échantillon est $n=280$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=168 \geq 5$ et $n(1-p)=112 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d’appartements rentables est $I=\left[ 0,6-1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} ; 0,6+1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} \right ]$
$I\approx [0,543 ;0,657]$
D’après la question 1, $f\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,6$. On ne peut pas valider l’affirmation du responsable de l’agence.

D’après l’énoncé, la probabilité qu’un adhérent à la mutuelle ait dépassé 20 journées d’absence au travail en 2013 est $p=0,22$ et la taille de l’échantillon est $n=200$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=44 \geq 5$ et $n(1-p)=156 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d’adhérents ayant dépassé 20 journées d’absence est $I=\left[ 0,22-1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} ; 0,22+1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} \right ]$
$I\approx [0,163 ;0,277]$
De plus, $f=\frac{36}{200}=0,18$. Par conséquent, $f\in I$ et on ne peut pas remettre en question l’affirmation de la mutuelle.