Etablir un intervalle de fluctuation

Méthode

Le contexte mathématique relatif à l’utilisation de cette méthode peut sembler un peu complexe mais en pratique, ce n’est pas si compliqué. Alors ne vous découragez pas trop vite !

Voici le contexte de la méthode.
On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est connue (ou bien supposée connue). On répète cette expérience $n$ fois de sorte que les expériences répétées soient identiques et indépendantes. On considère alors la variable aléatoire $F$ qui, à ces expériences répétées, associe la fréquence de réalisation de l’évènement $A$ sur les $n$ répétitions.

Dans ces conditions, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $I=\left[ p-1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]$.

Un interprétation de tout cela : la probabilité que $F$ appartienne à $I$ lorsque $n$ est suffisamment grand est proche de 95 %.

En pratique,

• On vérifie que $p$ est connue ou supposée connue.
• On repère la valeur de $n$ et on vérifie les trois conditions suivantes :
  • $n \geq 30$.
  • $np \geq 5$.
  • $n(1-p) \geq 5$.
• On utilise la formule donnée plus haut pour établir un intervalle de fluctuation.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  Avec les notations utilisées plus haut, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil $95$ % lorsque $p=30$ % et pour les valeurs suivantes de $n$ (on arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$) :

1. $n=50$.
2. $n=100$.
3. $n=300$.

• Niveau moyen
  (D’après Bac)
  Dans un slogan publicitaire, une banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêts immobiliers acceptées.
  Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de $F$ (arrondir les bornes de l’intervalle au millième).

• Niveau moyen
  (D’après Bac)
  Un cabinet d’assurances constate que 16 % de leurs clients ont déclaré un sinistre au cours de l’année.
  Un expert indépendant interroge un échantillon de $n$ clients choisis au hasard parmi les clients du cabinet. On souhaite déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l’année.

1. Pourquoi ne peut-on pas établir un tel intervalle si $n=30$ ?
2. Etablir l’intervalle demandé pour $n=60$ (on arrondira les bornes de l’intervalle au centième).

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• la question C de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
• la question C de Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2.