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Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

mercredi 28 février 2018, par Neige

Méthode

On considère une variable aléatoire discrète $X$.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, c’est :

  • lister l’ensemble des valeurs $x_i$ prises par $X$.
  • associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l’évènement $X=x_i$).
  • résumer ces informations dans un tableau, comme celui-ci :

Remarques :

  • certaines lois de probabilité sont "connues" comme la loi équirépartie ou la loi binomiale. Dans ce cas, inutile de construire le tableau, il suffit de donner le nom de la loi et préciser les paramètres éventuels (voir par exemple Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres).
  • pour déterminer une loi de probabilité, il est souvent utile d’utiliser un tableau à double entrée ou un arbre, comme nous allons le voir dans les exercices qui suivent la vidéo.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    Un jeu consiste à lancer 2 dés tétraédriques (c’est à dire à 4 faces) équilibrés et dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On considère la variable aléatoire $X$ qui correspond au plus petit des 2 chiffres obtenus avec les dés.
    Par exemple, si on obtient 4 avec le dé n°1 et 3 avec le dé n°2 alors $X$ prend la valeur 3.
    A l’aide d’un tableau à double entrée, déterminer la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

Comme les dés sont équilibrés, chacun des 16 couples de résultats a 1 chance sur 16 de sortir.
On construit donc le tableau suivant dans lequel la 1ère colonne correspond aux valeurs prises par le dé n°1 et la 1ère ligne aux valeurs prises par le dé n°2.

Par exemple, la valeur 2 en couleur dans le tableau, indique que si on obtient 4 avec le dé n°1 et 2 avec le dé n°2 alors $X$ prendra la valeur 2.

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 1, 2, 3 et 4.
Pour obtenir les probabilités associées, il suffit de compter les cases et utiliser le fait que chaque couple a une chance sur 16 de sortir.
D’où la loi de probabilité de $X$ :

  • Niveau moyen
    Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée de 1 à 3 fois de suite. Plus précisément, on lance successivement la pièce en respectant ces règles :
    – si on obtient Pile après un lancer, on gagne 2,50 € et on relance la pièce.
    – si on obtient Face après un lancer, le jeu s’arrête.
    – si on vient de lancer 3 fois la pièce, le jeu s’arrête (après avoir éventuellement empoché les gains liés au 3ème lancer).
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain, en €, du joueur.
    A l’aide d’un arbre, déterminer la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

On note :
– P l’évènement "obtenir Pile avec la pièce".
– F l’évènement "obtenir Face avec la pièce".
A chaque lancer, la probabilité des évènements P et F est de $\frac{1}{2}$ (la pièce étant équilibrée).
D’où l’arbre :

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 0 €, 2,50 €, 5 € et 7,50 €.
Pour calculer les probabilités associées, il suffit de multiplier les probabilités rencontrées sur les chemins correspondants.
Plus pécisément,
$P(X=0)=\frac{1}{2}$
$P(X=2,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$P(X=5)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(X=7,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
D’où la loi de probabilité de $X$ :

  • Niveau moyen
    Un restaurant propose deux formules pour le déjeuner :
    – la formule "plat unique" à 10 €.
    – la formule "plat + dessert" à 12 €.
    Il est également possible de commander un café pour 2 € supplémentaires.
    On sait que :
    – 45 % des clients choisissent le plat unique et parmi eux, 90 % prennent un café.
    – les autres clients choisissent la formule "plat + dessert" et parmi eux, 70 % prennent un café.
    On précise que tous les clients prennent une formule.
    A la fermeture de la cuisine, le gérant du restaurant consulte les factures du déjeuner et en regarde une au hasard.
    On appelle :
    – $F_1$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant choisi la formule plat unique".
    – $F_2$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant choisi la formule plat + dessert".
    – $C$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant pris un café après sa formule".
  1. Construire un arbre représentant la situation (si nécessaire, consulter Construire un arbre pondéré)
  2. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne la dépense, en €, du client. Etablir la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

1. D’après l’énoncé,
$P(F_1)=0,45$, $P_{F_1}(C)=0,9$ et $P_{F_2}(C)=0,7$.
D’où l’arbre :

2. On reprend l’arbre précédent en rajoutant les dépenses du client :

Les valeurs prises par $X$ sont : 10 €, 12 € et 14 €.
De plus,
$\begin{align} P(X=10) & = P(F_1 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,1 \\ & = 0,045 \end{align}$

$\begin{align} P(X=12) & = P(F_1 \cap C)+P(F_2 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(C)+P(F_2)\times P_{F_2}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,9+0,55 \times 0,3 \\ & = 0,57 \end{align}$

$\begin{align} P(X=14) & = P(F_2 \cap C) \\ & = P(F_2)\times P_{F_2}(C) \\ & = 0,55 \times 0,7 \\ & = 0,385 \end{align}$

D’où la loi de probabilité de $X$ :

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Un joueur lance deux pièces de monnaie et observe le côté sur lequel elle tombe. Pour chaque pièce présentant le côté pile, le joueur reçoit 50 euros. On définit ainsi une variable aléatoire x.
    On définit une deuxième variable aléatoire y qui correspond à un gain de 25 euros pour chaque pièce tombé sur le côté face.
    Soient z= x+y et T= x. y deux variable définit sur le même univers que x et y.
    1) Déterminé les lois de probabilité de z et T
    2) déterminé e(x), E(y), E(z) et E(T)
    Interprété E(x) et E(y)
    svp aidez moi

  • Bonjour.
    Voila je voudrai savoir comment à partir d’un ensemble de valeurs, par exemple 37° ; 37.4° ; 38.2°...... un ensemble de 300 valeurs de la température, on établie la loi de proba la variable aléatoire X qui représente cet ensemble de données.
    Merci.

    • Bonjour Kadik,
      Ta question est très intéressante et il est difficile d’y répondre.
      Pour faire cela, il faut choisir un modèle : loi exponentielle, binomiale, normale, ... ensuite tu peux ajuster les paramètres de cette loi.
      Dans les exercices de Tale, on donne souvent le modèle. Et tu as juste à estimer les paramètres.
      Par exemple, si on te dit qu’on modélise ta série de températures par une loi normale, tu pourras calculer un écart type et une moyenne qui rendent cette loi la plus proche de la série.
      Voilà, n’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair.
      A bientôt
      Neige

  • Je doit déterminer la loi de probabilité sur 3 valeurs, les boules sont numéroter, 2 ; 3 ; et 4. Une fois tiré, les deux boules tirer feront un nombre, il y a 6 possibilités. Si je tire un 4 et 2 ce me fait 42. Comment faire une loi de probabilité sur ca ?

    • Bonjour Zaccharie !
      Voici quelques indices :
      – Tout d’abord, il faut déterminer l’univers, c’est à dire l’ensemble des résultats possibles, tu as trouvé les 6 possibilités, c’est très bien (s’il n’y a pas de remise de la boule tirée au premier tirage).
      – Ensuite, il faut calculer les probabilités d’obtenir chacune des 6 possibilités. Il faudrait que tu me dises si on a la même chance de tirer chacune des boules ou pas pour que je t’aide davantage.
      Tu obtiendras quelque chose comme cela :

      Evènement 23 24 32 ...
      Probabilité ... ... ... ...

      Ce tableau est la loi de probabilité demandée.
      Voilà, j’espère que cela te sera utile !
      Bon courage à toi,
      Neige

  • Dans un groupe de 5 garçons et 3 filles, on choisit 4 personnes au hasard. X désigne le nombre de filles parmi les 4 personnes choisies. Quelle est la loi de probabilité de X ?

    Merci d’avance pour votre aide.

    • Bonjour Sanae,
      Très bonne question :-)
      Alors voici quelques pistes.

      • Tout d’abord, tu dois déterminer l’univers associé à X (quelles valeurs peut prendre X qui compte le nombre de filles). Ce n’est pas compliqué : on peut choisir aucune fille, une seule fille, deux filles, ...etc.
      • Ensuite, pour chacune des valeurs précédentes, tu dois calculer une probabilité. Par exemple, la probabilité qu’on ait choisi aucune fille est P(X=0).

      Tu obtiens donc un tableau comme celui-ci :

      xi 0 1 2 ...
      P(X=xi) P(X=0) P(X=1) P(X=2) ...

      Il suffit maintenant de calculer P(X=0), P(X=1) et les autres. Je suppose qu’on choisit les personnes simultanément avec la même probabilité.

      Voici le calcul de P(X=0) : on choisit 4 garçons parmi 5 et 0 filles parmi 3. Il y a donc (4 parmi 5)×(0 parmi 3) choix possibles, c’est à dire 5 choix possibles. Au total, il y a (4 parmi 8) groupes de 4 personnes différents, c’est à dire 70 groupes. On a donc P(X=0)=5/70=1/14.

      J’espère que cela te sera utile pour poursuivre la résolution.
      N’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour,

    Je ne comprends pas comment vous avez fait pour trouver les données : 5 choix possibles et 70 groupes.

    Merci pour votre aide

    • Bonjour Sanae et désolé pour la réponse tardive !
      Je peux t’expliquer si tu as vu les combinaisons (p parmi n). Normalement, on voit cela en classe de Terminale dans certaines séries.

      Si c’est le cas, alors pour choisir 4 garçons dans un groupe de 5, il suffit de calculer (4 parmi 5), ce qui donne, avec la calculatrice, 5.
      Le calcul exact est 5 !/(1 !×4 !).

      Pour choisir 4 personnes parmi 8, c’est le même principe.
      (4 parmi 8) = 70 (tu peux également taper "4 parmi 8" dans un moteur de recherche).

      Si cela n’est pas clair ou si tu n’as pas vu les combinaisons, écris moi, j’essaierai de t’expliquer autrement.

      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour

    Une variable aléatoire X prends les valeurs 4 ;5 ;6 ;7.
    on sait que P(X>6)=2/5 , P(X<6)=1/5 , P(X=4) = P(X=5)

    quelle est la loi de problilité de X ?

    • Bonjour Farid,
      Le problème consiste à calculer P(X=4), P(X=5), P(X=6) et P(X=7).
      Voici quelques indications :

      • On sait que la somme des probabilités doit faire 1. Comme P(X>6)=2/5 et P(X<6)=1/5, on peut donc en déduire P(X=6).
      • P(X>6)=2/5 signifie que P(X=7)=2/5 puisque la seule valeur prise par X strictement supérieure à 6 est 7.
      • P(X<6)=1/5 signifie que P(X=4)+P(X=5)=1/5. Comme on sait que P(X=4) = P(X=5), cela te permet de déterminer ces deux valeurs.

      Voilà, j’espère que ces indices t’aideront mais n’hésite pas à revenir vers moi si ce n’est pas le cas.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour
    On lance simultanément 2 des cubiques équilibrés, dont les faces vont de 1 à 6. L issue de l experience aléatoire est l ecart entre 2 numéros obtenus. Il faut déterminer l univers et la loi de probabilité. Merci

    • Bonjour Louis,
      Voici un peu d’aide. Construis un tableau comme celui-ci :

      dé 1\dé2 1 2 3 4 5 6
      1
      2
      3
      4
      5
      6

      Dans chaque case, tu calcules l’écart entre les deux dés.
      La liste des écarts possibles te donnera ton univers (0, 1, 2, 3, 4, 5).
      Ensuite, pour la loi de probabilité, tu peux dire que chacune des cases du tableau précédent a une chance sur 36 d’être réalisée (il y a 36 cases et les dés sont équilibrés). En comptant les valeurs, tu arriveras facilement à associer, à chacun des écarts, une probabilité.
      J’espère t’avoir été utile mais si tu as besoin de davantage d’explications, n’hésite pas à revenir par ici.
      Bon courage à toi
      Neige

  • Bonjour,
    Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard 3 jetons du sac simultanément. Soit X le plus grand des numéros figurant sur les trois jetons tirés.
    X est une variable aléatoire.
    1. Déterminer la loi de probabilité de X.

    • Bonjour Paloma,
      Voici un peu d’aide.

      La première chose à faire est de déterminer l’univers, c’est à dire l’ensemble des valeurs prises par X. Comme on tire simultanément 3 jetons, tu remarqueras que le plus grand numéro ne peut pas être 1... Je te laisse chercher l’ensemble de ces valeurs.

      Ensuite, pour chacune des valeurs de cet univers, il suffit de calculer la probabilité associée. Par exemple, pour la valeur 5, tu dois calculer P(X=5).
      Il y a plusieurs façon de faire le calcul. Je vais supposer que tu as vu les combinaisons (k parmi n) mais si ce n’est pas le cas, n’hésite pas à poster un autre message.

      Voici le calcul de P(X=5) :
      Il y a en tout (3 parmi 10) combinaisons distinctes de 3 jetons, c’est à dire 120 combinaisons. On suppose que le tirage est aléatoire donc chaque combinaison a la même probabilité d’apparaître : 1/120.
      Pour que 5 soit la plus grande valeur, il n’y a pas beaucoup de possibilités de tirages, seulement 6 :
      5-4-3
      5-4-2
      5-4-1
      5-3-2
      5-3-1
      5-2-1
      L’ordre des numéros ne compte pas car on raisonne par combinaisons (donc il ne faut pas compter 5-2-1 et 1-5-2 comme des combinaisons différentes dans notre raisonnement).
      Tu remarqueras que comme le 5 est fixé, pour calculer le nombre de possibilités sans lister toutes les combinaisons, il suffit de se dire qu’il nous reste 2 nombres à choisir parmi les nombres 1, 2, 3 ou 4, c’est à dire (2 parmi 4) possibilités, ce qui fait 6 (ce raisonnement t’aidera pour les autres calculs).
      On conclut que P(X=5) = 6/120

      Je te laisse continuer.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour
    On considère une population très nombreuse de chênes, dans un massif forestier, dont 40% des individus sont gélif.

    On considère un échantillon aléatoire simple de 900 arbres.
    On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de chênes gélifs de cet échantillon.

    1- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier la réponse.

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