Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans tout l’exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.

A l’occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs types de bouquets spéciaux.

Partie A

Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d’oeillets, uniquement de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d’une même couleur, soit blanches, soit jaunes.
Ce fleuriste a choisi de préparer 60 % de ces bouquets spéciaux avec uniquement des tulipes, 28 % avec uniquement des oeillets, les autres bouquets ne comportant que des marguerites.

On sait d’autre part que :
— la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ;
— la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d’oeillets est de un cinquième ;
— parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes.

Un client entre dans le magasin. et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets spéciaux « Fête des Mères ».

On note :
• T l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de tulipes » ;
• O l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet d’oeillets » ;
• M l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de marguerites » ;
• J l’évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont jaunes » ;
• B l’évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont blanches ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

Relire la méthode : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(T)=0,6$, $P(O)=0,28$, $P_T(J)=0,5$, $P_O(J)=\frac{1}{5}=0,2$ et $P_M(J)=\frac{1}{4}=0,25$.
Ces informations permettent de construire l’arbre suivant :

2. Calculer la probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

3. Montrer que la probabilité de l’évènement B notée $P(B)$ est égale à 0,614.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

4. Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, déterminer la probabilité que ce soit un bouquet d’oeillets.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Partie B

L’un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d’une espèce de rosiers nommée « Arlequin ».
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard, cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d’après les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma=3$.

1. On choisit au hasard un rosier « Arlequin » chez ce fournisseur.
a. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure entre 47 et 53 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

b. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Première méthode : à la calculatrice.
A l’aide de la calculatrice, $P(X \gt 56)\approx 0,023$.

Deuxième méthode : à l’aide d’un raisonnement.
On remarque que $\mu-2\sigma=44$ et $\mu+2\sigma=56$.
D’après le cours, $P(\mu-2\sigma \lt X \lt \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
Par conséquent, $P(44 \lt X \lt 56)\approx 0,954$.

On en déduit que $P(X\notin ]44 ;56[)\approx 1-0,954\approx 0,046$.

Par symétrie par rapport à l’axe d’équation $x=50$, on peut conclure que $P(X \gt 56)\approx \frac{0,046}{2}\approx 0,023$.

La probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres est d’environ 0,023.

2. Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80 % de ses rosiers « Arlequin ».
Déterminer la hauteur cherchée (on l’arrondira au mm).

Relire la méthode : Déterminer un seuil sous condition avec une loi normale.

Voir la solution

On appelle $a$ la valeur recherchée.
Voici une illustration du problème :

On cherche donc la valeur $a$ telle que $P(X\gt a)=0,8$.
D’après la calculatrice (les utilisateurs d’une calculatrice casio doivent indiquer Right), $a\approx 47,5$.
80 % des rosiers « Arlequin » dépasseront 47,5 cm.

Partie C

En se basant sur les ventes réalisées l’année précédente, ce fleuriste suppose que 85 % de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères.
Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son hypothèse en envoyant un questionnaire à 75 de ses clients, ces derniers étant supposés représentatifs de l’ensemble de sa clientèle.
Les réponses reçues montrent que, parmi les 75 clients interrogés, 16 déclarent qu’ils ne lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères.
Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ?

Relire les méthodes : Etablir un intervalle de fluctuation et Prendre une décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation.

C’est terminé !