Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2

D’après l’énoncé, $P(R)=0,16$, $P_R(T)=0,22$, $P_R(L)=0,34$, $P_{\bar{R}}(T)=0,49$ et $P_{\bar{R}}(L)=0,31$.
D’où l’arbre :

Il s’agit de calculer $P(T)$.
D’après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(T) & =P(R\cap T)+P(\bar{R}\cap T) \\ & =P(R)\times P_R(T)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(T) \\ & = 0,16\times 0,22+0,84\times 0,49 \\ & = 0,4468 \end{align}$
La probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468 (ou 44,68 %).

Nous allons calculer :
– d’une part, $P_T(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu’elle est principalement utilisée pour le trajet entre le domicile et le travail.
– d’autre part, $P_L(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu’elle est principalement utilisée pour les loisirs.

D’après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_T(R) & =\frac{P(R\cap T)}{P(T)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(T)}{P(T)} \\ & = \frac{0,16\times 0,22}{0,4468} \\ & = 0,0788 \end{align}$

De façon analogue,d’après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{P(R\cap L)}{P(L)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(L)}{P(L)} \\ \end{align}$
Nous avons besoin de déterminer la valeur de $P(L)$.
D’après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(L) & =P(R\cap L)+P(\bar{R}\cap L) \\ & =P(R)\times P_R(L)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(L) \\ & = 0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\ & = 0,3148 \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{0,16\times 0,34}{0,3148} \\ & \approx 0,1728 \end{align}$

D’après les informations à notre disposition et comme $0,1728\gt 0,0788$, Madame Dupont a plus de chances d’avoir une voiture provenant de la région parisienne que Monsieur Durand.

– L’épreuve consistant à choisir un véhicule comporte 2 issues : "le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Succès) et "le véhicule est n’est pas utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Echec). D’après la question A.2, la probabilité de succès est de 0,4468.
– D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante 10 fois (en admettant que les choix de véhicules puissent être assimilés à des tirages avec remise).
– $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,4468$ et $n=10$.

Il s’agit de calculer $P(X=2)$.
D’après le cours,
$\begin{align} P(X=2) & =\binom{10}{2}\times 0,4468^2\times 0,5532^{8} \\ & \approx 0,0788 \end{align}$
La probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d’environ 7,88 % (ou 0,0788).

Il s’agit de calcule $P(X \geq 1)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{0}\times 0,4468^0\times 0,5532^{10} \\ & = 1-0,5532^{10} \\ & \approx 0,9973 \end{align}$
La probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d’environ 99,73 % (ou 0,9973).

On demande de calculer $P(42 \lt Y \lt 58)$ (attention, $Y$ donne le nombre de milliers de véhicules).
A l’aide de la calculatrice, $P(42 \lt Y \lt 58)\approx 0,9545$.
La probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 milliers et 58 milliers est d’environ 95,45 % (ou 0,9545).

Remarque : si l’énoncé n’exigeait pas une précision au dix-millième, on aurait pu utiliser la formule suivante :
$P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$

On demande de calculer $P(Y \lt 55)$.
A l’aide de la calculatrice, $P(Y \lt 55)\approx 0,8944$.
La probabilité que les délais d’enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 est d’environ 89,44 % (ou 0,8944).