Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2

On sait que $a_0=2000$.
Après la première journée, la masse d’algues a augmenté de 2 %, ce qui signifie que cette masse a été multipliée par $1+\frac{2}{100}=1,02$.
$2000\times 1,02=2040$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$2040-100=1940$.
Après la deuxième journée, la masse d’algues a augmenté de 2 %.
$1940\times 1,02=1978,8$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$1978,8-100=1878,8$.
Par conséquent, $a_2$ est bien égal à 1 878,8 kg.

On peut illustre la situation par le schéma ci-dessous :

On rappelle, par ailleurs, qu’une augmentation de 2 % revient à multiplier par 1,02.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=1,02\times a_n-100$.

Soit $n$ un entier naturel.
$b_{n+1}=a_{n+1}-5000$ d’après l’énoncé
$\qquad=(1,02\times a_n-100)-5000$ en remplaçant $a_{n+1}$ par son expression
$\qquad=1,02\times a_n-5100$
$\qquad =1,02\times (a_n-5000)$ en factorisant par 1,02
$\qquad =1,02\times b_n$
Par ailleurs, $b_0=a_0-5000=2000-5000=-3000$ donc $(b_n)$ est la suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.

D’après la question précédente, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $b_n=-3000\times 1,02^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $b_n=a_n-5000$ alors $a_n=5000+b_n=5000-3000\times 1,02^n$.

Calculons la limite de la suite $(a_n)$.
$1,02>1$ alors $\lim 1,02^n=+\infty$.
Par produit par $-3000$, $\lim -3000\times 1,02^n=-\infty$.
Par somme avec $5000$, $\lim 5000-3000\times 1,02^n=-\infty$.
Cela implique qu’après un certain nombre de jours, la masse d’algue va nécessairement être nulle (une masse négative signifie qu’il n’y a plus d’algues).

Remarque
On arrive à une limite de $-\infty$ car le modèle ne prévoit pas que lorsqu’il reste moins de 100 kg d’algues, on ne peut pas en enlever 100 kg pendant la nuit !

L’algorithme calcule les termes successifs de $(a_n)$ et doit continuer tant que la condition $a_n \gt 0$ est vraie. Il s’arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c’est à dire lorsque $a_n \leq 0$, c’est à dire lorsqu’il n’y aura plus d’algues.
On peut donc compléter le compléter ainsi :

N ← 0
A ← 2000
Tant que A > 0
       A ← 1,02×A - 100
       N ← N + 1
Fin Tant que
Afficher N

Comme l’exécution pas à pas est longue, on se contente d’indiquer une exécution partielle (et on utilise la calculatrice).

C’est donc au bout de 26 jours que les algues auront disparu.

$\begin{align} 5000-3000 \times 1,02^n \leq 0 & \Leftrightarrow -3000 \times 1,02^n \leq -5000 \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{-5000}{-3000} \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow \ln(1,02^n) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(1,02) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \end{align}$
Or $\frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}\approx 25,8$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$ est $n=26$.

On retrouve le résultat obtenu par exécution de l’algorithme (ce qui est rassurant).
C’est au bout de 26 jours que les algues auront disparu.