Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1

On remarque que $f=e^u+v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions puis la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
Or la fonction $v$ est une fonction constante : $v(x)=e^2$. Sa dérivée est donc nulle.
Par ailleurs, $u(x)=-3x$ et $u’(x)=-3$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = u’(x)\times e^{u(x)}+0 \\ & = -3\times e^{-3x} +0 \\ & = -3e^{-3x} \\ \end{align}$
La bonne réponse est la réponse C.

1ère méthode :
La valeur de départ est $V_D= 4$.
La valeur d’arrivée est $V_A= 15$.
Le nombre de périodes est $n=2017-2010=7$.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’objets connectés à internet entre 2010 et 2017 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{15}{4}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,208 \\ & \approx 20,8 \% \end{align}$
La bonne réponse est la réponse D.

2ème méthode :
On teste chacune des réponses proposées en utilisant la méthode Appliquer un pourcentage d’évolution :
$4\times \left( 1+\frac{10,5}{100}\right)^7\approx 8$.
$4\times \left( 1+\frac{68,8}{100}\right)^7\approx 156$.
$4\times \left( 1+\frac{39,3}{100}\right)^7\approx 41$.
$4\times \left( 1+\frac{20,8}{100}\right)^7\approx 15$.
La bonne réponse est la réponse D.

A l’aide de la calculatrice, $P(X\geq 12,5)\approx 0,58$.
La bonne réponse est la réponse A.

La loi uniforme sur l’intervalle $[14 ;16]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{16-14}=\frac{1}{2}$.
La probabilité recherchée est $P(Y\leq 15,5)=P(14\leq Y \leq 15,5)$. Elle correspond à l’aire du rectangle rouge dessiné ci-dessous :

Par conséquent,
$\begin{align} P(Y\leq 15,5) & =(15,5-14)\times \frac{1}{2} \\ & = \frac{1,5}{2} \\ & = 0,75 \end{align}$
La bonne réponse est la réponse B.