Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé)

On peut réaliser le schéma suivant :

Comme diminuer une quantité de 10% revient à la multiplier par 0,9 et que le nombre d’élèves en 2015 est de 3000, on en déduit que $u_0=3000$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+250$.

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −2500$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,9u_n+250) −2500$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,9u_n-2250$
$\qquad = 0,9(u_n-2500)$ en factorisant par 0,9.
$\qquad = 0,9\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-2500=500$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=500$.

La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=500$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=500\times 0,9^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −2500$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = v_n+2500=500\times 0,9^n+2500$.

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}−u_n=0,9u_n+250-u_n$
$\qquad \qquad =-0,1u_n+250$
$\qquad \qquad =-0,1(500\times 0,9^n+2500)+250$
$\qquad \qquad =-50\times 0,9^n-250+250$
$\qquad \qquad =-50\times 0,9^n$
Comme $0,9^n \gt 0$ alors, par produit par un nombre négatif, $-50\times 0,9^n \lt 0$.
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n \lt 0$ et la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Il s’agit de déterminer la première année à partir de laquelle $u_n \leq 2800$.
L’algorithme suivant calcule les termes successifs de $(u_n)$ et s’arrête dès que la condition $u_n>2800$ devient fausse, c’est à dire lorsque $u_n \leq 2800$.

N prend la valeur 0
U prend la valeur 3000
TANT QUE U>2800 FAIRE
     N prend la valeur N+1
     U prend la valeur 0,9U+250
FIN TANT QUE
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