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Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4
dimanche 5 février 2017, par Neige
Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4
6 points - 55 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.
Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :
Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.
Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut être modélisée de la façon suivante :
– Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés .
– Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.
1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant :
VARIABLES
n et U sont des nombres
TRAITEMENT
Affecter à U la valeur 600
Affecter à n la valeur 0
Tant que U<800 faire
U prend la veleur U-U×0,05+80
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
SORTIE
Afficher n
|
a. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité).
| Valeur de U |
600 |
... |
... |
| Valeur de n |
0 |
... |
... |
| Test U<800 |
Vrai |
... |
... |
Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.
Exécutons cet algorithme pas à pas.
$n$ et $U$ sont des nombres
$U=600 \\
n=0$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U=600-600×0,05+80=650 \\
n=0+1=1$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U=650-650×0,05+80\approx 698 \\
n=1+1=2$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 698-698×0,05+80\approx 743 \\
n=2+1=3$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 743-743×0,05+80\approx 785 \\
n=3+1=4$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 785-785×0,05+80\approx 826 \\
n=4+1=5$
La condition $U<800$ est fausse, on sort du "Tant que".
On affiche $n=5$ |
Il suffit maintenant de compléter le tableau en écrivant les valeurs rencontrées en cours d’exécution :
| Valeur de U |
600 |
650 |
698 |
743 |
785 |
826 |
| Valeur de n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| Test U<800 |
Vrai |
Vrai |
Vrai |
Vrai |
Vrai |
Faux |
b. Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme.
D’après la question précédente, la valeur affichée en fin d’algorithme est $n=5$.
c. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Cet algorithme calcule le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile au fil des années.
Il s’arrête lorsque la condition $U<800$ est fausse c’est à dire lorsque le nombre de personnes abonnées est supérieur ou égal à 800.
Par conséquent, c’est au bout de 5 ans (en 2020) que le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile dépassera 800 pour la première fois.
2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre d’abonnés pendant l’année $2015+n$.
On a ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+80$ et $u_0=600$.
a. Donner $u_1$ et $u_2$ (arrondir les valeurs à l’unité).
Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.
On applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=0$ :
$u_{0+1}=0,95u_0+80$
$u_{1}=0,95\times 600+80 \\
u_{1}=650$
De façon analogue, on applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=1$ :
$u_{1+1}=0,95u_1+80$
$u_{2}=0,95\times 650+80 \\
u_{2}=697,5$
Par conséquent, $u_1=650$ et $u_2\approx 698$.
b. On introduit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1600$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme de cette suite.
Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.
Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −1600$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,95u_n+80) −1600$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,95u_n-1520$
$\qquad = 0,95(u_n-1600)$ en factorisant par 0,95.
$\qquad = 0,95\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-1600=-1000$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.
c. En déduire que l’on a, pour tout entier naturel $n$,
$u_n = 1600−1000×0,95^n$.
Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .
La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-1000\times 0,95^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −1600$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1600+v_n=1600-1000\times 0,95^n$.
3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.
Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement ?
Relire les méthodes : Déterminer un rang sous condition et Calculer la limite d’une suite géométrique.
On peut résoudre ce problème de différentes manières :
– en calculant le nombre d’abonnés après un grand nombre d’années (calcul de limite).
– en résolvant une inéquation permettant de savoir s’il existe une année pour laquelle le nombre d’abonnés dépassera 1000.
Commençons par le calcul de limite.
$0<0,95<1$ donc $\lim 0,95^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,95^n=0$.
Par somme avec $1600$, $\lim 1600-1000\times 0,95^n=1600$.
Cela signifie qu’après un grand nombre d’années, le nombre d’abonnés au service de repas à domicile se stabilisera à 1600 personnes.
on peut donc conclure que l’association devra envisager un jour des travaux d’agrandissement.
Autre méthode pour résoudre ce problème.
Cherchons s’il existe $n$ tel que le nombre d’abonnés dépasse 1000, c’est à dire tel que $u_n > 1000$.
$u_{n} > 1000\Leftrightarrow 1600-1000\times 0,95^n > 1000 \\
\qquad \Leftrightarrow -1000\times0,95^{n} > -600 \\
\qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < \frac{-600}{-1000} \\
\qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < 0,6 \\
\qquad \Leftrightarrow n\times \ln(0,95) < \ln(0,6) \\
\qquad \Leftrightarrow n > \frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)} \\
$
Remarque : on a changé l’ordre de cette dernière inégalité car $\ln(0,6) < 0$
Comme $\frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)}\approx 9,96$ alors $n=10$ et le nombre d’abonnés va dépasser 1000 en 2025. Il faudra prévoir des travaux d’agrandissement.
C’est terminé !
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