Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé)

Il suffit d’appliquer la formule : $\frac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}$, c’est à dire ici : $\frac{2470-950}{950}=1,6$.
Le nombre de clients a augmenté de 160% entre 1997 et 2000.

Erreur fréquente nº1 : penser que $1,6=1,6\%$ ou encore $1,6=16\%$.
En réalité, le symbole % signifie "divisé par 100".
Par conséquent, $1,6\%=1,6:100=0,016$ alors que $160\%=160:100=1,6$.
En résumé, lorsqu’on veut convertir un nombre en pourcentage, il suffit de le multiplier par 100 et de rajouter le symbole % (ce qui permet d’écrire une égalité).
Exemple : $0,08=8\%$ ou encore $-8,2=-820\%$
Erreur fréquente nº2 : penser que le calcul correct est : $\frac{V_{a}}{V_{d}}=\frac{2470}{950}=2,6=260\%$.
Le quotient $\frac{V_{a}}{V_{d}}$ est le coefficient multiplicateur permettant de passer de $V_{d}$ à $V_{a}$. Le résultat obtenu ($260\%$) signifie que la valeur d’arrivée $V_{a}$ représente $260\%$ de la valeur de départ $V_{d}$. Pour obtenir le pourcentage d’évolution, il est nécessaire de soustraire $100\%$.

$u_{n}$ représente le nombre total de clients de l’hôtel durant l’année $2000+n$. On cherche donc à caluler $u_{1}$.
On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,7u_{n}+1200$.
On utilise cette formule pour $n=0$ et on obtient : $u_{0+1}=0,7u_{0}+1200$ c’est à dire, $u_{1}=0,7\times2470+1200=2929$.
En 2001, le nombre total de clients est de 2929.
Erreur fréquente : penser que $u_{0+1}=u_{0}+1$ donc $u_{1}=2930$.
Attention : le +1 en indice ne peut pas "remonter". Il faut bien différencier le niveau de la ligne d’écriture et le niveau des indices (un petit peu en dessous).
Si vous ne comprenez pas cette erreur, vous pouvez utiliser la notation "fonction" (autorisée pour les suites). On obtient alors d’une part $u(0+1)$ et d’autre part $u(0)+1$ (ce qui est différent en général).

L’énoncé nous permet de comprendre qu’à partir d’une certaine année, le nombre de clients va dépasser 3900 (alors qu’en l’an 2000, il est seulement de 2470).
– L’algorithme 2 ne convient pas. En effet, on n’entre jamais dans la boucle Tant que puisque la condition U>3900 n’est pas vérifiée au départ (U=2470).
– L’algorithme 3 ne convient pas puisqu’il affiche non pas l’année mais le nombre de clients U.
– L’algortihme 1 est donc celui qui convient.
Remarque : on peut aussi justifier en faisant "tourner" les algorithmes (mais c’est un peu plus long) :

Conseil : il faut toujours commencer à faire "tourner" l’algorithme à la main.

Soit $n$ un entie rnaturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-4000$ (car d’ après l’énoncé de la question 4, $v_{n}=u_{n}-4000$)
$v_{n+1}=0,7\times u_{n}+1200-4000 \\ \qquad =0,7\times u_{n}-2800 \\ \qquad =0,7\times(u_{n}-4000) \\ \qquad =0,7\times v_{n}$
On en déduit que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7.
Son premier terme est $v_{0}=u_{0}-4000=-1530$.

Erreur fréquente : penser que l’on peut directement écrire $v_{n+1}=0,7\times v_n$.
En réalité, il s’agit de démontrer cette égalité à l’aide d’un raisonnement. On ne peut donc pas l’écrire dès le début.

Conseil : à chaque étape, on peut réfléchir à "ce que nous fournit l’énoncé" et "ce à quoi nous voulons arriver".

Comme $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme -1530, alors pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=-1530\times0,7^{n}$.

D’ après l’énoncé de la question 4, $v_{n}=u_{n}-4000$. Par conséquent, $u_{n}=v_{n}+4000$.
Donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=4000-1530\times0,7^{n}$.

Conseil : bien remarquer quels sont les liens qui unissent $u_n$ et $v_n$. Ici, le seul lien est la relation $v_{n}=u_{n}-4000$.

Si on a fait fonctionner l’algorithme 1 dans la question 3, on peut tout de suite répondre que le nombre de client dépasse 3900 à partir de l’année 2008.
Sinon, on peut résoudre une inéquation :
$u_{n}>3900\Leftrightarrow4000-1530\times0,7^{n}>3900 \\ \qquad \Leftrightarrow -1530\times0,7^{n}>-100 \\ \qquad \Leftrightarrow 0,7^{n}<\frac{-100}{-1530} \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(0,7)<\ln(\frac{100}{1530}) \\ \qquad \Leftrightarrow n>\frac{\ln(\frac{100}{1530})}{\ln(0,7)} \\ $
Comme $\frac{\ln(\frac{100}{1530})}{\ln(0,7)}\approx7,65$ alors $n=8$ et le nombre de client dépasse 3900 à partir de l’année 2008.

Conseil : si vous êtes perdus le jour du Bac, vous pouvez toujours chercher la valeur de $n$ par tâtonnement à l’aide de la calculatrice.

Comme $0<0,7<1$ alors $\lim 0,7^{n}=0$ et, par conséquent, $\lim 4000-1530\times0,7^{n}=4000$.
A long terme, le gérant de l’hôtel peut espérer avoir 4000 client chaque année.

Conseil : si vous êtes perdus le jour du Bac, vous pouvez toujours remplacer $n$ par un grand nombre à la calculatrice afin de "deviner" la limite.