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Résoudre une équation simple avec l’exponentielle ou le logarithme

samedi 2 juin 2018, par Neige

Méthode

Nous allons voir ici comment utiliser les fonctions exponentielle et logarithme népérien pour résoudre des équations simples.

J’appelle équation "simple" une équation dans laquelle l’inconnue apparaît exclusivement soit en exposant, soit dans un logarithme.
Par exemple, $3e^{2x+1}-5=2$ ou bien $5-2\ln{(x)}=0$ ou encore $e^{x^2+x}=-1$ sont des équations "simples".
Par contre $x\ln{(x)}=8$ ou encore $3x-4e^x=0$ ne le sont pas.

Lorsque l’équation n’est pas "simple", vous devez essayer de factoriser afin de vous ramener à une équation de type "produit nul" ou encore essayer de transformer l’équation afin d’obtenir une équation "simple". Cela n’est malheureusement pas toujours possible et une résolution approchée est parfois inévitable (cela fera l’objet d’une prochaine vidéo).

Face à une équation "simple", l’idée est :

  • d’isoler les termes contenant l’inconnue (une exponentielle ou un logarithme).
  • puis d’appliquer la fonction réciproque dans chaque membre. En d’autres termes, si vous avez isolé une exponentielle, vous appliquez le logarithme (après avoir vérifié que les deux membres sont strictement positifs). Si vous avez isolé un logarithme, vous appliquez l’exponentielle.
  • d’utiliser ensuite les propriétés suivantes :
    Pour tout réel $X$, on peut écrire que $\ln(e^X)=X$
    Pour tout réel $X\gt 0$, on peut écrire que $e^{\ln(X)}=X$
  • de poursuivre la résolution (avec un problème en moins !).

Cette méthode est un peu compliquée à expliquer avec des mots mais la mise en pratique est plus simple et j’espère que la vidéo ci-dessous et les exercices qui suivent vous permettront d’y voir un peu plus clair.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Résoudre les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad 3-2\ln(x)=4$ pour $x\gt 0$.

    $(E_2) : \qquad 4e^x=5$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_3) : \qquad 3^n=177147$ pour $n$ entier.

Voir la solution

On isole le terme contenant l’inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2\ln(x)=1 \\ & \Leftrightarrow \ln(x)=-0,5 \end{align}$
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{-0,5} \\ & \Leftrightarrow x=e^{-0,5} \end{align}$
Finalement, la solution est $x=e^{-0,5}\approx 0,607$.

On isole le terme contenant l’inconnue :
$(E_2) \Leftrightarrow e^x=1,25$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln(1,25) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(1,25) \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\ln(1,25)\approx 0,223$.

Le terme contenant l’inconnue est déjà isolé.
On applique la fonction logarithme népérien car l’inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(3^n\right)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(3)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(177147)}{\ln(3)} \\ & \Leftrightarrow n=11 \end{align}$

  • Niveau facile
    Résoudre les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad 1-e^{-3x+4}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad 4\ln(5x-2)=3$ pour $x\gt 0,4$.

    $(E_3) : \qquad 5+2\times 0,4^n=5,01$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la solution

On isole le terme contenant l’inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -e^{-3x+4}=-1 \\ & \Leftrightarrow e^{-3x+4}=1 \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-3x+4}\right)=\ln(1) \\ & \Leftrightarrow -3x+4=0 \\ & \Leftrightarrow -3x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{-4}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{4}{3} \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\frac{4}{3}\approx 1,333$.

On isole le terme contenant l’inconnue :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=\frac{3}{4} \\ & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=0,75 \\ \end{align}$
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln(5x-2)}=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x-2=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x=e^{0,75}+2 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{e^{0,75}+2}{5} \\ \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\frac{e^{0,75}+2}{5}\approx 0,823$.

On isole le terme contenant l’inconnue :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 2\times 0,4^n=0,01 \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=\frac{0,01}{2} \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=0,005 \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien car l’inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(0,4^n\right)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,4)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \end{align}$
Finalement, la solution est $n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \approx 5,782$.

  • Niveau moyen
    Résoudre les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad 3-2e^{x^2-1}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad \ln\left(1+e^{-x}\right)=3$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la solution

On isole le terme contenant l’inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2e^{x^2-1}=-3 \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=1,5 \\ \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2-1}\right)=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2-1=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2=1+\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{1+\ln(1,5)} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{1+\ln(1,5)} \end{align}$
Finalement, les solutions sont $\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx 1,186$ et $-\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx -1,186$.

Le terme contenant l’inconnue est déjà isolé.
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln\left(1+e^{-x}\right)}=e^{3} \\ & \Leftrightarrow 1+e^{-x}=e^{3} \end{align}$
On isole à nouveau le terme contenant l’inconnue :
$(E_2) \Leftrightarrow e^{-x}=e^{3}-1$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-x}\right)=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow -x=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln\left(e^{3}-1\right) \end{align}$
Finalement, la solution est $x=-\ln\left(e^{3}-1\right)\approx -2,949$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

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