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Résoudre une équation "produit nul"

samedi 9 juin 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d’avoir lu :

Nous allons voir ici comment résoudre une équation produit nul.

Une équation produit nul est une équation de type $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Par exemple l’équation $(3x-4)\times (1-e^x)=0$ est une équation produit nul.

Attention, il est parfois nécessaire de factoriser avant d’obtenir une telle équation. Nous verrons quelques exemples ci-après.

Pour résoudre une équation produit nul, on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$.
On résout ensuite chacune des équations $A=0$ et $B=0$ séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l’équation initiale.

Remarques

  • L’intérêt de cette méthode est qu’on transforme un problème $A\times B=0$ qui peut être compliqué en deux petits problèmes $A=0 \qquad ou \qquad B=0$ souvent beaucoup plus simple. On décompose un problème en sous-problèmes.
  • Attention, cette technique ne s’applique qu’aux produits nuls. $A\times B=1$ n’est pas équivalent à $A=1 \qquad ou \qquad B=1$.

En résumé,

  • on factorise si ce n’est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre).
  • on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$ et on résout ces deux dernières équations séparément.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Résoudre les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad (3x-2)(x+4)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad (1-x)(2-e^x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_3) : \qquad e^{2x-4}(0,5x-7)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_4) : \qquad (x-2)\ln(x)=0$ pour $x\gt 0$.

Voir la solution

L’équation $(E_1)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4 \end{align}$
L’équation $(E_1)$ admet deux solutions : $\frac{2}{3}$ et $-4$.

L’équation $(E_2)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (1-x)(2-e^x)=0 & \Leftrightarrow 1-x=0 \qquad ou \qquad 2-e^x=0 \\ & \Leftrightarrow -x=-1 \qquad ou \qquad -e^x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad e^x=2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad x=\ln(2) \end{align}$
L’équation $(E_2)$ admet deux solutions : $1$ et $\ln(2)$.

L’équation $(E_3)$ est bien une équation produit nul.
$e^{2x-4}(0,5x-7)=0 \Leftrightarrow e^{2x-4}=0 \qquad ou \qquad 0,5x-7=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{2x-4}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} e^{2x-4}(0,5x-7)=0 & \Leftrightarrow 0,5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 0,5x=7 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{7}{0,5} \\ & \Leftrightarrow x=14 \end{align}$
L’équation $(E_3)$ admet une seule solution : $14$.

L’équation $(E_4)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (x-2)\ln(x)=0 & \Leftrightarrow x-2=0 \qquad ou \qquad \ln(x)=0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=e^0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=1 \end{align}$
L’équation $(E_4)$ admet deux solutions : $2$ et $1$.

  • Niveau moyen
    Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués.
    Il est demandé de se ramener à des équations de type produit nul après avoir factorisé.

    $(E_1) : \qquad 2x^3+x^2-6x=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_3) : \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_4) : \qquad x\ln(x+2)=x$ pour $x\gt -2$.

Voir la solution

Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$.
$(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant.
$\begin{align} \Delta & =b^2-4ac \\ & =1^2-4\times 2\times(-6) \\ & = 1+48 \\ & = 49 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions :
$\begin{align} x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1-7}{4} \\ & = \frac{-8}{4} \\ &=-2 \end{align}$
et
$\begin{align} x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1+7}{4} \\ & = \frac{6}{4} \\ &=1,5 \end{align}$
Finalement, l’équation $(E_1)$ admet trois solutions : $0$, $-2$ et $1,5$.

Factorisons le membre de gauche de $(E_2)$ par $e^{1-x}$.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}=0 \qquad ou \qquad 3-x=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{1-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3-x=0 \\ & \Leftrightarrow x=3 \end{align}$
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $3$.

On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que :
$e^{-2x}=e^{-x}\times e^{-x}$
Par conséquent,
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}\times e^{-x}=0$
Factorisons le membre de gauche par $e^{-x}$.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}=0 \qquad ou \qquad 1-2e^{-x}=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \\ & \Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \\ & \Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \\ & \Leftrightarrow e^{-x}=0,5 \\ & \Leftrightarrow -x=\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(2) \end{align}$
(la dernière étape est facultative)
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $\ln(2)$.

Dans cette équation $(E_4)$, il y a une erreur à ne pas commettre : diviser chacun des membres par $x$. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution... De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s’annuler. On va donc transformer l’équation de sorte que l’inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x\ln(x+2)-x=0 \\ & \Leftrightarrow x(\ln(x+2)-1)=0 \end{align}$
Cette équation est de type produit nul.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)=1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e^1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=e-2 \end{align}$
L’équation $(E_4)$ admet deux solutions : $0$ et $e-2$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Messages

  • Bonjour,

    Je cherche à résoudre une équitation mais je n’ai pas la bonne méthode, pourriez vous m’aider svp ?

    Zia Moura

  • Bonjours je n’arrive pas à résoudre l’équation ci dessous.
    X2-5=20
    (C’est x au carré)
    Merci

    • Bonjour Clara
      Voici une idée :
      x² - 5 = 20 revient à x² - 25 = 0 (en soustrayant 20 dans les deux membres).
      Or, 25 = 5² donc cette équation s’écrit aussi :
      x² - 5² = 0
      A partir de là, tu peux utiliser la fameuse identité remarquable :
      a² - b² = (a-b) × (a+b)
      Tu obtiendras ainsi une équation "produit nul".
      Je te laisse avancer avec ces indications mais si ce n’est pas clair ou si tu as besoins d’autres indications, n’hésite pas à écrire !

      Neige

  • Bonjour voici l’équation sur laquelle je bloque.
    soit (E) l’équation (x−1)2−1=0.

    Déterminez l’ensemble des solutions de (E).

    • Bonjour Gautier,
      Voici quelques pistes. L’équation que tu proposes est la suivante :
      (x-1)² - 1 = 0
      On peut aussi l’écrire :
      (x-1)² - 1² = 0 (vu que 1 = 1²)
      Par ailleurs, on connait l’identité remarquable :
      a² - b² = (a-b) × (a+b)
      Essaie de remplacer a par (x-1) et b par 1, cela devrait t’aider à obtenir une équation "produit nul".
      Si ce n’est pas clair, n’hésite pas à revenir par ici !
      Neige

  • Bonjour, Je n’arrive pas à résoudre cette équation :
    ( x-3 )(x+1)=0

    • Bonjour Romaric,
      Il suffit d’écrire que ce produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
      Autrement dit :
      ( x-3 )(x+1)=0 revient à écrire que x-3=0 ou x+1=0
      Chacune des deux petites équations admet une solution unique que je te laisse déterminer.
      Ces deux solutions sont les solutions de l’équation de départ.

      Si ce n’est pas clair, reviens par ici.
      Bon courage !
      Neige

  • Je bloque sur cette equation
    x au cube-5x=0
    et celle -ci
    4xau carré-24x+36=-5x au carré+36x-64=0

    • Bonjour zanele,
      En fait, tu dois commencer par factoriser :
      x^3-5x = x(x^2-5)
      donc x^3-5x = 0 revient à dire x = 0 ou x^2 - 5 =0
      Je te laisse finir.

      La 2ème équation est une identité remarquable :
      4x^2-24x+36 = 4(x^2-6x+9) = 4(x-3)^2
      Donc 4x^2-24x+36 = 0 revient à dire 4(x-3)^2 = 0
      Je te laisse finir.

      La dernière équation est plus compliquée, tu peux utiliser le discriminant pour déterminer les racines.

      Voilà, j’espère t’avoir été utile. N’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair !
      A bientôt
      Neige

  • Bonjour je n’arrive pas à résoudre ces deux équations : (x+3)²=(8x)²
    Et : (x+3)²=(2x-5)²

    • Bonjour Convenance !
      C’est la même technique pour les deux équations.
      Tes équations sont de forme : a²=b²
      Cela est équivalent à a²-b²=0
      Or a²-b²=(a-b)×(a+b)
      Donc l’équation s’écrit (a-b)×(a+b)=0, ce qui permet de résoudre avec la méthode du produit nul.

      Plus précisément :
      (x+3)²=(8x)² revient à écrire : (x+3)²-(8x)²=0
      C’est à dire (x+ 3-8x)×(x+3+8x)=0
      Ou encore : (-7x+3)×(9x+3)=0
      Tu peux donc dire que -7x+3=0 ou 9x+3=0 et poursuivre la résolution.

      J’espère que cet indice te sera utile !
      A bientôt
      Neige

  • Bonjour je m’appelle Yousra et je n’arrive pas à résoudre cette équation :
    3x au carré + 2x = 0

  • Bonjour je voudrais que m’aidiez à résoudre centre equation
    X(2x+3) (x-5)=0

    • Bonjour Aurah,
      En fait, on sait que A×B = 0 revient à dire que A=0 ou B=0.
      Cette propriété se généralise dans le cas où on a trois facteurs (ou davantage) :
      A×B×C=0 revient à dire que A=0 ou B=0 ou C=0.

      Plus concrètement, dans ton cas, x(2x+3)(x-5)=0 revient à dire que :
      x=0 ou 2x+3=0 ou x-5=0.
      Tu résous chaque petite équation séparément (la première est déjà résolue) et tu obtiendras l’ensemble des solutions.

      N’hésite pas à repasser par ici si ce n’est pas clair. Courage !
      Neige

  • Bonjour,

    je cherche à résoudre
    (2 x - 6 ) (x +2 ) + 5 ( x + 2 ) = 0

  • je n’arrive pas à résoudre :
    (x+5)(x+3)=0
    (x-7)²=0

  • bonjour je n’ arrive pas a résoudre 1/x=5

  • Bonjour,

    Pourriez-vous m’aider car je ne sais pas comment résoudre cette équation produit :
    x(2 – x)(8x – 2) = 0

    En effet, le x devant la parenthèse me pose problème.
    Je vous remercie d’avance...

    • Bonjour Fen-x,
      Voici une piste. Tu peux voir x comme (x-0) et réécrire ton équation de la façon suivante :
      (x-0)(2–x)(8x–2)=0
      On peut ensuite appliquer la méthode de résolution du produit nul :
      x-0=0 ou 2-x=0 ou 8x-2=0
      J’espère que ces informations te seront utiles.
      Bon courage !
      Neige

  • Je te remercie Neige pour ta réponse rapide.

    C’est plus clair pour moi maintenant ;)

    Bonne journée

  • bjr, je cherche a résoudre :
    l’équation B’(x) = 0 en sachant que B’(x) = - 2x +110

  • Bonjour, je n’arrive pas à résoudre l’équation
    (9x-9)au carré - (8x-12)au carré =0. Merci d’avance pour la réponse :)

    • Bonjour Lila,
      Tu peux utiliser l’identité remarquable A²-B²=(A-B)×(A+B)
      Dans ton cas, A = (9x-9) et B = (8x-12)
      Tu obtiens donc :
      (9x-9)²-(8x-12)²=[(9x-9)-(8x-12)]×[(9x-9)+(8x-12)]
      En simplifiant chacune des expressions entre crochets, tu obtiendras ainsi un produit et l’équation de départ se ramènera à un produit nul.
      Voilà, j’espère que cela te sera utile mais n’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • Merci beaucoup pour cette réponse très rapide qui m’a beaucoup aidé !!!
    Lila

  • bonjour pouvez vous m’expliquer comment resoudre cette equation svp (x+2)(x-5)

    • Bonjour enzo,
      Je vais essayer mais tout d’abord, je me permets de te faire remarquer que ce que tu présentes comme une équation n’en est pas une (il n’y a pas de symbole =). Alors j’imagine que tu souhaites résoudre (x+2)(x-5)=0.
      Dans ce cas, tu peux écrire que x+2=0 ou bien x-5=0 (lis bien la méthode expliquée en haut de cette page).
      C’est à dire x=-2 ou bien x=5. Cette équation admet donc 2 solutions.
      Voilà, j’espère que cet exemple t’aidera !
      A bientôt
      Neige

  • Bonjour, je n’arrive pas à résoudre l’équation 2lnx divisé par x. Pouvez vous m’aider s’il vous plaît ? (Car il faut que je trouve le minimum de f(x)= (lnx) au carré -1 )

    • Bonjour margaux ,
      Alors tout d’abord, tu commence très bien ton exercice.
      Effectivement, si tu cherches le minimum de la fonction f définie par f(x)=(ln x)²-1, tu peux dériver et étudier le signe de la dérivée de f.
      Ici, f ’(x)=(2ln x)/x et comme tu l’écris, tu peux résoudre l’équation : (2ln x)/x=0
      Comme tu cherches un x différent de 0 (sinon, ln x n’aurait pas de sens), cette équation est équivalente à 2ln x = 0 (une fraction est nulle lorsque son numérateur est nul).
      Pour résoudre cela, tu peux lire cette méthode : Résoudre une équation simple avec l’exponentielle ou le logarithme mais je vais quand même poursuivre l’explication :)
      2ln x = 0 revient à dire que ln x = 0.
      Il te suffit ensuite d’appliquer la fonction exponentielle dans chaque membre.
      J’espère que tu as compris, sinon n’hésite pas à poursuivre cette discussion.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour, je n’arrive pas a résoudre cette équation :
    4x - (x+3) = 5 - (1-3x)

    Je vous dis Merci d’avance

    • Bonjour John,
      Tout d’abord, il s’agit de réduire les expressions dans chacun des membres :

      • Membre de gauche : 4x-(x+3)=4x-x-3=3x-3
      • Membre de droite : 5-(1-3x)=5-1+3x=3x+4

      On obtient donc : 3x-3=3x+4. Ce n’est pas une équation "produit nul" mais une équation du premier degré un peu particulière.
      En effet, en soustrayant 3x dans chaque membre, on obtient : -3=4.
      Cela n’est évidemment possible pour aucune valeur de x donc ton équation n’a pas de solution !
      J’espère que cela t’aura été utile.
      Bon courage
      Neige

  • Bonjour, j’ai besoin de votre aide. Ma professeur de maths m’a donner comme consigne « résoudre les équations ci-dessous. pour cela, utiliser une factorisation pour obtenir une équation produit nulle. » et je suis bloquer pour ces deux calculs :
    1// (5x+1)(x-2)=(5x+1)au carré

    2// (3-2x)(x+1)=3(3-2x)

    Merci d’avance.

    • Bonjour sasha !
      Voici comment faire :

      • tu regroupes tout dans un même membre
      • tu factorises par le facteur commun

      Voici comment faire pour la première équation par exemple :
      (5x+1)×(x-2) = (5x+1)²
      (5x+1)×(x-2) - (5x+1)² = 0
      (5x+1)×(x-2) - (5x+1)×(5x+1) = 0
      (5x+1)×(x-2) - (5x+1)×(5x+1) = 0
      (5x+1)×((x-2) - (5x+1)) = 0
      (5x+1)×(x-2-5x-1) = 0
      (5x+1)×(-4x-3) = 0
      Et maintenant, tu peux utiliser la technique du produit nul :
      5x+1 = 0 ou -4x-3 = 0
      Je te laisse continuer.
      J’espère que tu as compris l’idée.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour,
    je n’arrive pas à résoudre cet énoncé.
    Pourriez vous m’aider ?

    F=121a 2−36+(−11a+6)(2a+5)

    Question 1 : Développer et réduire l’expression F.
    Question 2 : Factoriser l’expression 121a 2−36.
    Question 3 : Factoriser F.
    Question 4 : Quelles sont les solutions de l’équation F=0 ?

    Merci d’avance
    Anonyme

    • Bonjour !
      Voici quelques indices :

      • Question 1 :
        tu peux commencer par développer, à part, (−11a+6)(2a+5).
        (−11a+6)(2a+5) = -11a×2a + (-11a)×5 + 6×2a + 6×5
        = -22a²-55a+12a+30
        = -22a²-43a+30
        Tu peux ensuite remplacer cela dans l’expression initiale et réduire, c’est à dire regrouper les a² entre eux, les a entre eux et les constantes entre elles.
      • Question 2 :
        121a² - 36 est une différence de nombres au carré. En effet, c’est (11a)²-6². Or, tu dois savoir que x²-y²=(x-y)(x+y).
        En remplaçant x par 11a et y par 6, tu as la réponse à ta question.
      • Question 3 :
        Une fois que tu auras terminé la question 2, tu verras qu’on peut reconnaître un facteur commun dans l’expression de F : (11a-6), cela te permettra de factoriser.
      • Question 4 :
        Une fois factorisée (question 3), tu pourras utiliser la technique du produit nul, c’est à dire :
        A×B = 0 revient à dire que A = 0 ou B = 0. (tu peux regarder : Résoudre une équation "produit nul")

      Ce ne sont que des pistes qui, je l’espère, te mettront sur la voie. N’hésite pas à revenir par ici si tu rencontre des difficultés, je serai ravi de t’aider d’avantage.
      Courage !
      Neige

  • Je n’arrive pas à résoudre (x-3)(x-3)-9=0

    • Bonsoir Lucas,
      Voici un peu d’aide.
      Ton équation peut s’écrire : (x-3)² - 3² = 0
      En effet, (x-3)(x-3) = (x-3)² et 9 = 3²
      Or, on sait que a² - b² = (a-b)(a+b)
      Par conséquent, (x-3)² - 3² = ((x-3) - ...)(... + 3)
      (je te laisse compléter les pointillés).
      Une fois que tu auras complété les pointillés, tu auras un produit nul et tu pourras utiliser la méthode de résolution présentée dans la vidéo.
      J’espère t’avoir aidé mais si ce n’est pas suffisant, n’hésite pas à revenir par ici !
      Neige

  • Bonjour,

    Je suis bloquer sur cette équation, un peu d’aide de votre part serait la bienvenue !

    (8x-2)(-2x+1/4)=0

    Sachant que / correspond à la barre de la fraction 1 quart.

    Merci beaucoup !

    Louise

    • Bonjour Louise !
      Tu veux résoudre l’équation (8x-2)(-2x+1/4)=0.
      En fait, il suffit de dire que si cette multiplication donne zéro alors 8x-2=0 ou alors -2x+1/4=0.
      – Ecrire 8x-2=0 revient à écrire que 8x=2 (et je te laisse trouver x).
      – Ecrire -2x+1/4=0 revient à écrire que -2x+0,25=0, c’est à dire 0,25=2x (et je te laisse finir).
      Tu devrais ainsi obtenir deux jolies solutions.
      Bon courage à toi et reviens par ici si ce n’est pas clair.
      A bientôt !
      Neige

  • Bonjour,
    Je me suis demandé comment on faisait lorsqu’on a une équation de produit nul avec trois facteurs ?
    Par exemple :
    5x(-2-4x)(-5-5x)=0
    Pourriez vous m’aider ?

    • Bonjour Thom,
      En fait, le principe du produit nul se généralise à un produit de plusieurs facteurs. Je m’explique :
      A × B × C = 0 revient à dire que A = 0 ou B = 0 ou C = 0.
      Ainsi, dans ton cas, il suffit de dire que :
      5x = 0
      ou : -2 - 4x = 0
      ou : -5 - 5x = 0
      Tu as donc trois équations à résoudre .
      Les solutions de ton équation initiale seront la réunion des solutions de chacune des trois petites équations.
      Si tu as du mal à résoudre les petites équations, tu peux consulter Résoudre une équation du 1er degré.
      A très bientôt !
      Neige

  • Bonjour j’espère être au bon endroit.
    Je dois résoudre l’équation suivante :
    (1/(x+1)) + (1/(x+2)) =1
    N’arrivant pas a trouver j’ai regarder la solution, qui est :
    (x+2+x+1-(x+1)(x+2)) / ((x+1)(x+2)) = 0
    Je n’arrive pas a comprendre comment on passe de l’une a l’autre équation.
    Pour le reste, trouvé le discriminant et les 2 solutions a l’équation pas de problème.
    Merci d’avance :)
    Maxime

    • Bonjour Maxime,
      Alors soit l’énoncé est faux, soit la correction est fausse car les deux équations n’ont pas les mêmes solutions.
      La correction ne serait pas plutôt :
      (x+2-x(x+1)(x+2)) / ((x+1)(x+2)) = 0 ?

      Bon, de toutes façons, voici comment faire :

      A - Tu commences par tout regrouper dans le même membre :
      1/(x+1) + 1/(x+2) - 1 = 0
      B - Tu réduis les fractions au même dénominateur :
      (x+2)/[(x+1)(x+2)] + (x+1)/[(x+1)(x+2)] - (x+1)(x+2)/[(x+1)(x+2)] = 0
      C - Tu regroupes les numérateurs :
      [(x+2) + (x+1) - (x+1)(x+2)]/[(x+1)(x+2)] = 0
      D - Tu résous :
      Pour x différent de -1 ou de -2 (car cela annule le dénominateur), cette égalité est équivalente à :
      (x+2) + (x+1) - (x+1)(x+2) = 0
      On peut ensuite développer, puis calculer un discriminant, etc..

      Voilà, j’espère t’avoir été utile.
      Bonne journée à toi !
      Neige

  • Bonjour j’ai besoin de votre aide pour résoudre 2x(3x-2)

    • Bonjour Konaté,
      Si tu veux résoudre une équation, il est impératif que ton expression contienne le symbole "=".
      Je suppose que tu veux résoudre 2x(3x-2) = 0
      Dans ce cas, il te suffit d’écrire que 2x = 0 ou 3x-2 = 0 puis de résoudre chacune de ces petites équations séparément.
      J’espère que ces indications t’aideront à avancer.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour,
    Je bloque sur cette équation :
    0=1000 000- 500 000/(1+x)^1- 500 000/(1+x)^2-500 000/(1+x)^3

    Pouvez-vous m’aider ?
    Merci

    • Bonjour Aline,
      Je comprends que tu sois bloquée, ce n’est pas une question facile !
      Tout d’abord, en divisant par 500 000 puis en posant X = x + 1, tu devrais arriver à une équation plus simple :
      0 = 2 - 1/X - 1/X^2 - 1/X^3
      En multipliant par X^3, tu obtiens une équation équivalente (car X = 0 n’est pas solution) :
      2X^3 - X^2 - X - 1 = 0
      Il n’y a pas de solution évidente donc je te conseille de poser :
      f(X) = 2X^3 - X^2 - X - 1, d’étudier les variations de f entre - l’infini et + l’infini (avec une dérivée et un petit calcul de limite).
      Tu arriveras à montrer que f(X) = 0 admet une unique solution (application du théorème de la bijection ou théorème des valeurs intermédiaires selon le vocabulaire utilisé). C’est déjà un résultat important.

      Trouver la valeur exacte de cette solution est possible mais assez compliqué, en tous cas, ce n’est pas au programme de Terminale. Si tu es au lycée, je pense donc qu’on te demandera de donner une valeur approchée avec la calculatrice.

      Voilà, j’espère t’avoir été utile. Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour

    J’ai (12-3x)/(2*racine de x)
    En multipliant par l’inverse cela équivaut à :
    (12-3x)*(1/(2*racine de x))
    On a donc : 12-3x=0 ou 1/(2*racine de x)=0
    Je n’arrive pas à résoudre le second calcul qui est 1/(2*racine de x)
    Pouvez-vous m’aider svp ?

    • Bonjour Clément,
      Si j’ai bien compris, tu cherches à résoudre :
      (12 - 3x)/(2*racine de x) = 0
      En fait, une fraction A / B vaut 0 lorsque A vaut 0 (à condition que B ne vaille pas 0 en même temps).
      Dans ton cas, cela revient simplement à résoudre 12 - 3x = 0.
      Si tu veux faire plaisir à ton/ta prof de maths, tu peux, après avoir trouvé la solution, vérifier que le dénominateur de ta fraction ne s’annule pas pour cette solution.

      Bon courage à toi :-)
      Neige

  • bonjour je n’arrive pas a résoudre cette équation :
    – 8x(au carré)+16 x -6
    merci de me répondre
    bon week-end

  • Bonjour ,
    j’ai un petit soucis avec cet équation. Pourriez-vous m’aider svp.
    2y(2y+5)=0
    je me dit que le 2y = 0
    Et le terme 2y+5=0 aussi.
    merci de votre aide.

    • Bonsoir ghizlane,

      Tu as presque la bonne réponse !

      En fait, tu dois écrire :
      2y = 0 ou 2y + 5 = 0
      Tu dois utiliser le mot "ou", pas "et". En effet, les deux expressions n’ont pas besoin d’être égales à 0 en même temps car dès que l’une est nulle, le produit est nul.

      Tu peux résoudre ces deux équations séparément :
      2y = 0 revient à dire que y = 0
      2y + 5 = 0 revient à dire que 2y = -5 donc que y = -2,5
      Finalement y = 0 ou bien y = -2,5. Il y a deux solutions !

      J’espère que c’est un peu plus clair :-)
      Bon courage
      Neige

  • Bonjour,
    Je dois résoudre l’équation x²+x=0.
    Mon professeur m’a donné la solution sauf que je ne comprends pas comment il a trouvé :
    x(x+1) —> Est ce qu’il a factorisé ? si oui, quand doit-on factoriser et quand n’y a t-il pas besoin ?

    Merci de votre aide.

    • Bonjour et merci pour cette excellente question !
      En fait, il n’y a pas de réponse simple mais voici une idée :

      • Si l’inconnue n’apparaît qu’à un seul endroit, il est souvent possible de l’isoler.
      • Si ce n’est pas le cas, il faut faire appel à une autre technique (et la factorisation permettant d’obtenir une équation "produit nul" est souvent une bonne piste).

      Dans ton cas, x apparaît à plusieurs endroits donc on ne peut pas simplement isoler x. En effet, passer de :
      x² + x = 0 à x = - x² n’apporte pas grand chose, on n’a pas résolu l’équation...
      Donc ton professeur te propose de passer à une équation "produit nul" en utilisant une factorisation :
      x² + x = x × x + x × 1
      Donc : x² + x = x × (x + 1)
      On en déduit que l’équation initiale x² + x = 0 peut s’écrire :
      x × (x + 1) = 0
      Cette équation est une équation "produit nul" et on sait la résoudre !
      Tu peux dire que x = 0 ou bien x + 1 = 0.
      Dans chacune de ces mini-équations, le x n’est présent qu’à un seul endroit et on peu l’isoler facilement (d’ailleurs, x = 0 est déjà résolue).

      Voilà, j’espère t’avoir apporté quelques idées. N’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair. Bon courage à toi !
      Neige

  • Résoudre dans N*
    2x+4=0.
    J’ai essayé de la résoudre mais j’ai perdu quelques notions pouvez vous m’aidez s’il vous plaît surtout avec N*.

    • Bonjour :)

      Cette équation n’est pas une équation "produit nul" car elle n’est pas sous forme d’un produit. C’est une équation du premier degré (tu peux lire : Résoudre une équation du 1er degré).

      Mais voici un peu d’aide !

      2x + 4 = 0
      On soustrait 4 des deux côtés :
      2x + 4 - 4 = 0 - 4
      Cela s’écrit aussi :
      2x = -4
      Maintenant, on divise par 2 des deux côtés :
      2x/2 = -4/2
      C’est à dire :
      x = -2

      On peut se dire : "super, j’ai trouvé ! Il y a une seule solution : -2". En fait ce n’est pas vrai car il y a un piège. L’énoncé te demande de résoudre le problème dans N*.

      N* est l’ensemble des nombres entiers strictement positifs, c’est à dire : 1, 2, 3, 4, 5, .... etc. Autrement dit, on te demande de trouver les solutions de ton équation qui sont des nombres entiers strictement positifs. Comme tu n’as trouvé que -2 et que ce nombre n’est pas positif, il n’y a pas de solution dans N* !

      Voilà voilà, j’espère que ce commentaire t’aidera. Bon courage à toi et n’hésite pas à revenir par ici !
      Neige

  • bonjour j’aurais besoin d’aide pour cette équation produit nul 2x-1=0 et 2x-3=0 sachant qu’un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul, en déduire les solutions de P(x)=0
    merci de votre aide d’avance

    • Bonjour Sara,
      Je suppose que tu veux résoudre l’équation :
      (2x-1)(2x-3) = 0
      Dans ce cas, ce n’est pas :
      2x-1=0 et 2x-3=0
      mais plutôt :
      2x-1=0 ou 2x-3=0

      En effet, résoudre 2x-1=0 et 2x-3=0 revient à chercher une seule valeur de x pour laquelle à la fois 2x-1=0 et 2x-3=0 (il n’y a aucune solution). Il est possible que ton prof t’ait demandé cela mais c’est un peu tordu...

      Pour résoudre (2x-1)(2x-3) = 0, tu dois chercher les valeurs qui annulent la première expression ou bien la deuxième. De toutes façons, il suffit que l’une des deux soit nulle pour que la multiplication fasse 0.

      Donc tu résous 2x-1=0 :
      2x = 1 (en ajoutant 1 dans les 2 membres)
      x = 0,5 (en divisant par 2 dans les 2 membres)
      Voici ta première solution.

      Il te suffit de faire pareil pour la 2ème équation et tu obtiendras 2 solutions.

      En espérant t’avoir aidée.
      Bonne année à toi
      Neige

  • Bonjour,

    Je n’arrive absolument pas à résoudre l’équation suivante :
    3/x+2 -1/x2-4 - 1/2 =0

    La barre / est une barre de fraction et x2 est un x au carré.

    Il me semble que ce n’est pas une équation produit nul mais je reste bloquée.

    Merci à l’avance pour votre aide :)

    • Bonjour Margaux,

      Voici un peu d’aide.

      Tu cherches à résoudre l’équation :
      3/(x + 2) -1/(x^2 - 4) - 1/2 =0

      On va tout écrire avec le même dénominateur.

      Tout d’abord, x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
      Un dénominateur commun est donc : 2 (x - 2)(x + 2)

      Ainsi, la première fraction peut s’écrire :
      3/(x + 2) = 6 (x - 2) / [2(x - 2)(x + 2)]

      La seconde : 1/(x^2 - 4) = 2 / [2(x - 2)(x + 2)]

      La troisième : 1 /2 = (x - 2)(x + 2) / [2(x - 2)(x + 2)]

      3 / (x + 2) - 1 / (x^2 - 4) - 1/2 = 0 s’écrit alors :
      [6 (x - 2) - 2 - (x - 2)(x + 2)] / [2(x - 2)(x + 2)] = 0

      Cela est équivalent à 6 (x - 2) - 2 - (x - 2)(x + 2) = 0
      (qui est une équation du second degré...)

      J’espère t’avoir mise sur la voie,
      Bon courage à toi
      Neige

  • Bonjour pouvez vous m’aidez :

    Résoudre l’équation
    9𝑥^2 −25− (3𝑥+5)(2𝑥−7)+(6𝑥+10)(4𝑥−1)=0

    • Bonjour lily !

      Voici une piste :

      Tout d’abord, tu remarqueras que 9𝑥^2 −25 est une différence de deux nombres au carré : (3x)^2 - 5^2.

      La formule a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b) permet ainsi d’écrire que : (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5) * (3x + 5)

      Ensuite, le dernier terme, c’est à dire le produit (6x + 10) * (4x − 1) peut également se factoriser par 2 :
      (6x + 10) * (4x − 1) = 2 * (3x + 5) * (4x − 1)

      On obtient donc l’équation :
      (3x - 5) * (3x + 5) - (3x+5)(2x−7) + 2 * (3x + 5) * (4x − 1) = 0

      Tu remarqueras qu’un facteur est commun à chacun des trois termes !!
      Je te laisse factoriser :) mais tu peux revenir si tu as besoin d’un peu d’aide
      Bon courage
      Neige

  • bonjour

    peut on résoudre de cette façon :
    – 2(x-1)(x+3)=0
    équation de produit nul : produit nul si chacun de ses facteurs (de la forme ax+b) est nul

    x-1=0
    x=1
    et
    x+3=0
    x=-3

    s=-3 ;1

    merci pour votre aide

    belle journée

    • Bonjour Louison,

      Les solutions sont les bonnes mais je te signale un point important car il y a une erreur de logique :

      Un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul (et non pas "chacun de ses facteurs").

      Cela signifie qu’il n’est pas nécessaire que les deux facteurs soient nuls en même temps, un seul suffit.

      Concrètement, cela signifie que dans ta rédaction, au lieu d’écrire :

      x-1=0
      x=1
      et
      x+3=0
      x=-3

      il convient d’écrire :

      x-1=0
      x=1
      ou
      x+3=0
      x=-3

      Finalement, on conclut que les solutions sont 1 et -3, c’est à dire que si x vaut 1 ou bien x vaut -3 alors 2(x-1)(x+3)=0 (et réciproquement).

      Voilà, n’hésite pas à réécrire en cas d ebesoin.
      Bon courage !
      Neige

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