Résoudre une équation du 2nd degré

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_1) \Leftrightarrow x^2+x-2=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=1$ et $c=-2$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 1^2-4\times 1\times (-2) \\ & =1+8 \\ & =9 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1-3}{2} \\ & = \frac{-4}{2} \\ & = -2 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1+3}{2} \\ & = \frac{2}{2} \\ & = 1 \end{align}$

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow x^2-2x^2+3x+3x-5-4=0 \\ & \Leftrightarrow -x^2+6x-9=0 \end{align}$
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=-1, b=6$ et $c=-9$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 6^2-4\times (-1)\times (-9) \\ & =36-36 \\ & =0 \end{align}$
On constate que $\Delta = 0$ donc $(E_2)$ admet exactement une solution réelle :
$\begin{align} x &=\frac{-6}{2\times (-1)} \\ & = \frac{-6}{-2} \\ & = 3 \end{align}$

On commence par ordonner les termes dans le membre de gauche !
$(E_3) \Leftrightarrow 4x^2+8x+16=0$.
On peut aussi diviser par 4 chacun des membres (cela revient à diviser chaque terme par 4) :
$(E_3) \Leftrightarrow x^2+2x+4=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=2$ et $c=4$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 2^2-4\times 1\times 4 \\ & =4-16 \\ & =-12 \end{align}$
On constate que $\Delta \lt 0$ donc cette équation n’admet pas de solution réelle.

$(E_1)$ est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=0$ et $c=-5$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 0^2-4\times 1\times (-5) \\ & =0+20 \\ & =20 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{0-\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = -\sqrt{5} \\ & \approx -2,236 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{0+\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = \sqrt{5} \\ & \approx 2,236 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow x^2=5 \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{5} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{5} \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_2) \Leftrightarrow 2x^2+3x=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=2, b=3$ et $c=0$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 3^2-4\times 2\times 0 \\ & =9 \\ \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_2)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-3-\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3-3}{4} \\ & = \frac{-6}{4} \\ & = -\frac{3}{2} \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-3+\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3+3}{4} \\ & = \frac{0}{4} \\ & = 0 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 2x^2+3x=5 \\ & \Leftrightarrow x(2x+3) \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x+3=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x=-3 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=-\frac{3}{2} \\ \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.

C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=-m$ et $c=1$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= (-m)^2-4\times 1\times 1 \\ & =m^2-4 \end{align}$
L’équation admet exactement une solution réelle si et seulement si $\Delta = 0$. Or,
$\begin{align} \Delta = 0 & \Leftrightarrow m^2-4=0 \\ & \Leftrightarrow m^2=4 \\ & \Leftrightarrow m=2 \qquad ou \qquad m=-2 \end{align}$
L’équation admet exactement une solution réelle pour $m=2$ ou $m=-2$ et seulement dans ce cas.