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Dériver une somme, un produit par un réel

dimanche 1er avril 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celle-ci : Dériver les fonctions usuelles.

Nous allons voir ici comment dériver la somme de deux fonctions ainsi que le produit d’une fonction par un réel.

On considère deux fonctions $f$ et $g$ dérivables sur un intervalle $I$ ainsi qu’un nombre réel $k$. Alors $f+g$ et $k\times f$ sont dérivables sur $I$ et :

$(f+g)’=f’+g’$
$(k\times f)’=k\times f’$

Ces formules ne vous semblent sans doutes pas très "parlantes". La vidéo et les exercices ci-dessous visent à éclaircir les choses. Notons toutefois que pour bien dériver une somme ou un produit d’une fonction par un réel, il est nécessaire de :

connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
savoir reconnaître une situation de somme de fonctions ou de produit d’une fonction par un réel.
appliquer les formules de dérivation ci-dessus.

Remarques

il est important de savoir qu’une division par un réel n’est rien d’autre qu’une multiplication par l’inverse de ce réel. Cela simplifie grandement la vie !
Ainsi $\frac{f(x)}{3}=\frac{1}{3}\times f(x)$ et on entre dans le cadre d’un produit par un réel (qui est plus facile à dériver qu’un quotient).
il est également important de savoir qu’une différence est une somme avec l’opposé et que l’opposé n’est rien d’autre que le produit par $-1$. Ainsi $2-f(x)=2+(-f(x))=2+(-1)\times f(x)$ et on peut utiliser les formules de dérivation d’une somme et d’un produit par un réel. De façon générale, les remarques précédentes valident l’utilisation de la formule $(f-g)’=f’-g’$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués (ces intervalles sont simplement des ensembles sur lesquels on est autorisé à dériver, ils n’interviennent pas dans le calcul de dérivée).

$f(x)=x^2+x^3$ sur $\mathbb{R}$.

$g(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.

$h(x)=x-\frac{1}{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.

$k(x)=1+x-x^2$ sur $\mathbb{R}$.

$m(x)=e^{x}-\ln(x)$ sur $]0 ;+\infty[$.

Voir la solution

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} f’(x) & =2x^1+3x^2 \\ & =2x+3x^2 \end{align}$

$g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. Pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$g’(x) =-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. Pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} h’(x) & =1-\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ & =1+\frac{1}{x^2} \end{align}$

$k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} k’(x) & =0+1-2x \\ & =1-2x \end{align}$

$m$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. Pour tout $m\in ]0 ;+\infty[$,
$m’(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$

Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués.

$f(x)=2x^5$ sur $\mathbb{R}$.

$g(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}$ sur $]0 ;+\infty[$.

$h(x)=\frac{-4}{5x}$ sur $]0 ;+\infty[$.

$k(x)=\frac{e^{x}}{5}$ sur $\mathbb{R}$.

$m(x)=\frac{-2\ln(x)}{7}$ sur $]0 ;+\infty[$.

Voir la solution

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} f’(x) & =2\times 5x^4 \\ & =10x^4 \end{align}$

$g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On remarque que $g(x)=\frac{1}{3}\times \sqrt{x}$. Ainsi, pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} g’(x) & =\frac{1}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ & =\frac{1}{6\sqrt{x}} \end{align}$

$h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On remarque que $h(x)=\frac{-4}{5}\times \frac{1}{x}$. Ainsi, pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} h’(x) & =\frac{-4}{5}\times \frac{-1}{x^2} \\ & =\frac{4}{5x^2} \end{align}$

$k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On remarque que $k(x)=\frac{1}{5}\times e^{x}$. Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} k’(x) & =\frac{1}{5}\times e^{x} \\ & =\frac{e^{x}}{5} \end{align}$

$m$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On remarque que $m(x)=\frac{-2}{7}\times \ln(x)$. Ainsi, pour tout $m\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} m’(x) & =\frac{-2}{7}\times \frac{1}{x} \\ & =\frac{-2}{7x} \end{align}$

Niveau moyen
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$.

$f(x)=-\frac{x}{2}+3x^2-5x^4+\frac{x^5}{5}$ sur $\mathbb{R}$.

$g(x)=3\left(x^2-\frac{5}{2x}\right)$ sur $]0 ;+\infty[$.

$h(x)=\frac{2e^{x}-3}{4}$ sur $\mathbb{R}$.

$k(x)=4-\frac{\ln(x)}{2}$ sur $]0 ;+\infty[$.

Voir la solution

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On remarque que $f(x)=\frac{-1}{2}\times x+3x^2-5x^4+\frac{1}{5}\times x^5$. Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} f’(x) & =\frac{-1}{2}\times 1+3\times 2x-5\times 4x^3+\frac{1}{5}\times 5x^4 \\ & =\frac{-1}{2}+6x-20x^3+x^4 \end{align}$

$g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On remarque que $g(x)=3\times u(x)$ où $u(x)=x^2-\frac{5}{2}\times \frac{1}{x}$. Par conséquent, pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} g’(x) & =3\times u’(x) \\ & = 3\times \left(2x-\frac{5}{2}\times \frac{-1}{x^2} \right) \\ & = 3\times \left(2x+\frac{5}{2x^2} \right) \\ & = 6x+\frac{15}{2x^2} \end{align}$

$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On remarque que $h(x)=\frac{1}{4}\times u(x)$ où $u(x)=2e^{x}-3$. Par conséquent, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align} h’(x) & =\frac{1}{4}\times u’(x) \\ & = \frac{1}{4}\times (2e^{x}) \\ & = \frac{2e^{x}}{4} \\ & = \frac{e^{x}}{2} \end{align}$

$k$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$. On remarque que $k(x)=4-\frac{1}{2}\times \ln(x)$. Ainsi, pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$,
$\begin{align} k’(x) & =0-\frac{1}{2}\times \frac{1}{x} \\ & =-\frac{1}{2x} \\ \end{align}$

Au Bac

On peut utilser cette méthode pour résoudre :

la question 1 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.

Documents joints

Dériver une somme, un produit par un réel (DIST_YOUTU - )
Un exemple concret de calcul de dérivées faisant intervenir la somme de deux fonctions ou le produit d’une fonction par un réel.

Cet exercice résolu pourra intéresser les élèves de Terminale S ou ES dans le cadre de leur préparation au Baccalauréat.

Vous pouvez retrouver cette vidéo dans un article contenant un point méthode et des exercices corrigés gratuits ici : http://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/derivation/article/deriver-une-somme-un-produit-par-un-reel

Si vous voulez tout savoir sur la dérivation, vous pouvez visionner une playliste de méthodes : https://www.youtube.com/playlist?list=PLEi54rJUIUL0atI3DlbxQsfHQudC6ih2D

Sur le site mathematiques.club, vous trouverez des méthodes, des exercices et leurs corrigés gratuits.

Messages

1. Dériver une somme, un produit par un réel, 11 avril 2020, 20:14, par emilie

Bonjour,
Si maintenant je souhaite dérivé un produit d’une fonction exponentielle tels que :
f(x) = (2x + 1) e-2x
sachant que le -2x est une puissance comment faut il faire ?
Merci d’avance
- 1. Dériver une somme, un produit par un réel, 13 avril 2020, 13:29, par Neige
  
  Bonjour emilie !
  Ton expression est un produit entre deux expressions : d’une part (2x+1) et d’autre part, e^(-2x).
  Alors, tu dois commencer par la dériver comme un produit, regarde cette méthode : Dériver un produit.
  Dans ce produit, tu auras besoin de dériver l’exponentielle d’une fonction, alors regarde cette méthode : Dériver l’exponentielle d’une fonction.
  
  Reviens par ici si ces informations ne te suffisent pas !
  Bon courage à toi
  Neige
- 2. Dériver une somme, un produit par un réel, 13 avril 2020, 13:34, par Neige
  
  (suite du message précédent)
  
  Re-bonjour Emilie, c’est encore moi,
  Je détaille un peu plus les étapes.
  on pose u(x)=2x+1 et v(x)=e^(-2x).
  Alors, u’(x)=2 et v’(x)=-2e^(-2x) (regarde le 2ème lien que je t’ai envoyé).
  Comme f(x)=u(x)v(x), alors f ’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
  Il ne te reste plus qu’à remplacer et réduire :)
  A bientôt !
  Neige

Dériver une somme, un produit par un réel

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