Suites

Méthode
Il existe de nombreuses méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite. La méthode exposée ici est une méthode générale d’étude de variations, particulièrement intéressante lorsque la suite à étudier ne fait pas partie des suites "connues" (arithmétique ou géométrique) en classe de Terminale ou bien lorsqu’on n’a pas vraiment d’idées.
Voici son prinicipe. On considère une suite $(u_n)$. Il s’agit d’étudier le signe de $u_n+1-u_n$ pour tout entier $n$. Si $u_n+1-u_n \geq (…)

Méthode
Etablir une relation de récurrence pour une suite $(u_n)$, c’est écrire une égalité faisant intervenir un terme quelconque et son ou ses suivant(s). Bien souvent dans les exercices de type Bac, il s’agit d’écrire une égalité faisant intervenir $u_n+1$ et $u_n$.
Il n’est pas toujours facile de traduire un énoncé pour établir ce type d’égalités. On peut toutefois suivre les étapes suivantes : Lire l’énoncé avec beaucoup d’attention et surligner les mots importants. Faire un schéma (…)

Méthode
On considère un nombre $q$ strictement positif et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=q^n$.
La règle de calcul de limite est simple : si $0 < q < 1$ alors $\lim q^n=0$. si $q=1$ alors $\lim q^n=1$. si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner Niveau facile Déterminer la limite de la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac83$ et de premier terme $u_0=-2$.
Voir la solution
La suite (…)

Méthode
On considère une suite $(u_n)$ dont on connaît l’expression du terme général. Chercher le rang $n$ tel que $u_n$ respecte une condition, c’est résoudre une équation ou une inéquation d’inconnue $n$ faisant intervenir $u_n$.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner Niveau facile Déterminer le rang $n$ pour lequel la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=4^n$ atteint la valeur 262 144.
Voir la solution
Il s’agit de résoudre (…)

Méthode
On considère une suite géométrique $(u_n)$ dont on connaît la raison $q$ et le premier terme $u_0$. Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n$. Cette dernière égalité est une réponse aux questions : "Exprimer $u_n$ en fonction de $n$." "Donner une expression explicite de $u_n$."
Attention : cette expression n’est valable que si la suite est géométrique (il faut donc s’assurer qu’on a déjà montré que la suite était géométrique dans une question antérieure). (…)

Méthode Il existe différentes méthodes pour démontrer qu’une suite est géométrique. On présente ici la plus classique en Terminale ES.
Une suite $(u_n)$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_n+1=a\times u_n$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$.
Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation $u_n+1=a\times u_n$. Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d’utiliser la rédaction suivante : $u_n+1=... (…)

Méthode
On considère une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n+1=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.
Si l’exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_n+1=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$. On obtient alors $u_0+1=f(u_0)$, c’est à dire $u_1=f(u_0)$. Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c’est terminé.
Si, par la suite, l’exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. (…)